Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
lim x 0[sen(x)+cos (x)]^1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
L = limxto0l(sin(x)+cos(x)r)^1x
usando o Teorema de L’Hospital. Vamos precisar transformar a expressão em uma forma que permita aplicar L’Hospital, ou seja, obter uma expressão do tipo 0/0 ou infty/infty, para depois voltar ao formato exponencial.

Passo 2

Definimos
L = exp!l(limxto0 tfraclnl(sin(x)+cos(x)r)xr)
Isso vale porque f(x) >0 perto de x=0 e exp(ln(f(x))/x) = f(x)^1/x.

Passo 3

Analisamos o limite interno
M = limxto0 lnl(sin(x)+cos(x)r)x
No numerador, sin(0)+cos(0)=1 implica ln(1)=0, e no denominador temos 0. Logo é caso 0/0.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital derivando numerador e denominador:
numerador ddxlnl(sin x+cos xr) =cos x-sin xsin x+cos x,
denominador ddxx=1.
Portanto
M = limxto0cos x - sin xsin x + cos x

Passo 5

Avaliaremos M no ponto x=0:
cos(0)-sin(0)=1 e sin(0)+cos(0)=1, logo
M = 11 = 1
Assim
L = exp(M) = exp(1) = e

Resposta

e

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