Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
lim x 1 ln (x^2+x+1)ln (x^2+2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1lnl(x^2+x+1r)lnl(x^2+2x+1r)
usando o Teorema de L’Hospital. Para aplicar o Teorema de L’Hospital precisamos primeiro verificar se a expressão assume a forma indeterminada tfrac00 ou tfracinftyinfty. Se não, podemos usar substituição direta.

Passo 2

Vamos avaliar numerador e denominador em x=1 por substituição direta:
lnl(1^2+1+1r)=ln(3), lnl(1^2+2cdot1+1r)=ln(4)
Como ln(4)neq 0, não há indeterminação do tipo tfrac00 ou tfracinftyinfty.

Passo 3

Não sendo uma forma indeterminada, o limite é dado diretamente pela razão dos valores:
limxto1lnl(x^2+x+1r)lnl(x^2+2x+1r) =ln(3)ln(4)

Resposta

ln(3)ln(4)

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