Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
lim x +infty 3 x^2-2 x+12 x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty3x^2-2x+12x^2+3
usando o Teorema de L’Hospital. O conteúdo é de limites envolvendo quociente de polinômios e a técnica de l’Hospital para tratar indeterminações do tipo infty/infty.

Passo 2

Ao fazermos xto+infty, tanto o numerador 3x^2-2x+1 quanto o denominador 2x^2+3 crescem sem limite, caracterizando a forma indeterminada infty/infty. Logo, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital, diferenciando numerador e denominador separadamente.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
ddx(3x^2-2x+1)=6x-2, ddx(2x^2+3)=4x
Então
limxto+infty3x^2-2x+12x^2+3 =limxto+infty6x-24x

Passo 4

Para avaliar limxto+infty6x-24x, dividimos numerador e denominador por x:
6x-24x =6-tfrac2x4 =64-24x =32-12x
Como limxto+inftytfrac12x=0, segue que o limite vale tfrac32.

Resposta

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