Exercício 10. (Apostol, capítulo 8.9, exercícios 4 a 9) Calcule as derivadas parciais partial fpartial xj das funções abaixo:
f(x)=lang<= a, xrang<=, x in R^n e a in R^n é vetor constante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial
partial fpartial xj
da função
f(x)=lang<= a,xrang<=,
em que x=(x1,dots,xn)inR^n e a=(a1,dots,an)inR^n é constante.
O conteúdo é derivada parcial de uma função linear em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, use a definição do produto interno em coordenadas. Temos
f(x)=lang<= a,xrang<= = sumi=1^nai,xi
Isso expressa f como soma de termos do tipo ai xi.

Passo 3

Lembre que a derivada parcial em relação a xj trata todas as outras variáveis xi (com ineq j) como constantes. Logo, ao derivar
sumi=1^nai,xi
em relação a xj, cada termo com ineq j some (derivada de constante é zero) e sobra apenas o termo aj xj.

Passo 4

Derivando o único termo que depende de xj, temos
partialpartial xj(aj xj) = aj
Portanto, o resultado para a derivada parcial é
partial fpartial xj(x) = aj

Resposta

partial fpartial xj(x)=aj

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