Exercício 10. (Apostol, capítulo 8.9, exercícios 4 a 9) Calcule as derivadas parciais
das funções abaixo:
e
é vetor constante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial
da função
da função
em que
e
é constante.
O conteúdo é derivada parcial de uma função linear em várias variáveis.
O conteúdo é derivada parcial de uma função linear em várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, use a definição do produto interno em coordenadas. Temos
Isso expressa
como soma de termos do tipo
.
Passo 3
Lembre que a derivada parcial em relação a
trata todas as outras variáveis
(com
) como constantes. Logo, ao derivar
em relação a , cada termo com
some (derivada de constante é zero) e sobra apenas o termo
.
em relação a
Passo 4
Derivando o único termo que depende de
, temos
Portanto, o resultado para a derivada parcial é