Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
lim x 0 e^tg(2 x)-1sen(5 x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto 0e^tan(2x)-1sin(5x)
usando o Teorema de L’H^opital. Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando xto0, temos a forma indeterminada 0/0 e podemos aplicar o teorema.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
limxto0e^tan(2x)-1 = e^tan(0)-1 = e^0-1=0,
limxto0sin(5x)=sin(0)=0
Logo é 0/0.

Passo 3

Aplicamos L’H^opital, diferenciando numerador e denominador:
ddxl(e^tan(2x)-1r) = e^tan(2x)cdotddx[tan(2x)] = e^tan(2x)cdotsec^2(2x)cdot2,
ddx[sin(5x)] =5cos(5x)
Portanto
limxto0e^tan(2x)-1sin(5x) =limxto02,e^tan(2x)sec^2(2x)5cos(5x)

Passo 4

Basta agora substituir x=0 nessa última expressão:
e^tan(0)=e^0=1, sec^2(0)=1, cos(0)=1,
logo
limxto02cdot1cdot15cdot1=25

Resposta

25

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