Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema de L’Hospital. Trata-se de uma forma indeterminada do tipo
, pois quando
cada parcela diverge. Para aplicar L’Hospital, primeiro vamos escrever isso como uma única fração, obtendo uma indeterminação
.
Passo 2
Unimos as duas frações com denominador comum
. Assim,
Logo a expressão original fica
Passo 3
Antes de simplificar, observamos que ao substituir
temos
, ou seja, indeterminação
. Agora podemos aplicar o Teorema de L’Hospital, derivando numerador e denominador em relação a
.
Passo 4
Derivando numerador e denominador:
Pelo Teorema de L’Hospital, o limite vale
Passo 5
Fatorando
em cima e embaixo:
Agora tomamos
: