Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
lim x 0[1x^2+x-1x]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0l[1x^2+x-1xr]
usando o Teorema de L’Hospital. Trata-se de uma forma indeterminada do tipo infty-infty, pois quando xto0 cada parcela diverge. Para aplicar L’Hospital, primeiro vamos escrever isso como uma única fração, obtendo uma indeterminação 0/0.

Passo 2

Unimos as duas frações com denominador comum x(x^2+x). Assim,
1x^2+x-1x =x;-;(x^2+x)x,(x^2+x) =-x^2x^2(x+1)
Logo a expressão original fica
-x^2x^2(x+1)

Passo 3

Antes de simplificar, observamos que ao substituir x=0 temos -0/0, ou seja, indeterminação 0/0. Agora podemos aplicar o Teorema de L’Hospital, derivando numerador e denominador em relação a x.

Passo 4

Derivando numerador e denominador:
num'(x)=ddx(-x^2)=-2x, den'(x)=ddxl[x^2(x+1)r] =2x(x+1)+x^2=3x^2+2x
Pelo Teorema de L’Hospital, o limite vale
limxto0-2x3x^2+2x

Passo 5

Fatorando x em cima e embaixo:
-2x3x^2+2x =-2xx(3x+2) =-23x+2
Agora tomamos xto0:
limxto0l(-tfrac23x+2r) =-22 =-1

Resposta

-1

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