Usando o teorema do resíduo, calcule as seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x{4}+a{4}}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}+a^{4}},
onde se assume a>0.
Informações dadas e objetivo:
  • Integrando: \dfrac{1}{x^{4}+a^{4}}.
  • Intervalo de integração: (-\infty,\infty).
  • Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral em termos de a.

Passo 2

Plano de ataque (passo a passo do que será feito): usar integração no plano complexo e o teorema dos resíduos, integrando a função
f(z)=\frac{1}{z^{4}+a^{4}}
num contorno que consiste no eixo real de -R a R mais um semicírculo no semiplano superior de raio R, e depois fazer R\to\infty. Vou justificar que a contribuição do arco tende a zero e então aplicar o teorema dos resíduos somando os resíduos dos polos no semiplano superior.

Passo 3

Determinar os polos de f(z): são as raízes da equação
z^{4}+a^{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad z^{4}=-a^{4}=a^{4}e^{i\pi}.
As quatro raízes são
z_k = a\,e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)},\qquad k=0,1,2,3.
Escrevendo explicitamente:
z_0 = a e^{i\pi/4},\quad z_1 = a e^{i3\pi/4},\quad z_2 = a e^{i5\pi/4},\quad z_3 = a e^{i7\pi/4}.

Passo 4

Selecionar os polos no semiplano superior: são aqueles com argumento entre 0 e \pi. Isso corresponde a
z_0 = a e^{i\pi/4}\quad\text{e}\quad z_1 = a e^{i3\pi/4}.
Os outros dois estão no semiplano inferior e não contribuem para o contorno superior.

Passo 5

Calcular os resíduos nos polos superiores. Primeiro verificar que são polos simples: se g(z)=z^{4}+a^{4}, então g'(z)=4z^{3} e g'(z_k)\neq0 pois z_k\neq0, logo são simples. Para um polo simples z_0 vale a fórmula
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{g'(z_0)}=\frac{1}{4z_0^{3}}.
Portanto, para os dois polos:
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{4z_0^{3}},\qquad \operatorname{Res}(f,z_1)=\frac{1}{4z_1^{3}}.

Passo 6

Calcular z_0^{3} e z_1^{3} usando exponenciais:
z_0^{3}=a^{3}e^{i3\pi/4},\qquad z_1^{3}=a^{3}e^{i9\pi/4}=a^{3}e^{i\pi/4}.
Logo os resíduos são
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{4a^{3}}e^{-i3\pi/4},\qquad \operatorname{Res}(f,z_1)=\frac{1}{4a^{3}}e^{-i\pi/4}.
Somando:
\operatorname{Res}(f,z_0)+\operatorname{Res}(f,z_1)=\frac{1}{4a^{3}}\bigl(e^{-i3\pi/4}+e^{-i\pi/4}\bigr).
Fatorando e^{-i\pi/4}:
\frac{1}{4a^{3}}e^{-i\pi/4}\bigl(e^{-i\pi/2}+1\bigr)=\frac{1}{4a^{3}}e^{-i\pi/4}\bigl(-i+1\bigr).
Agora usar 1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}. Assim
e^{-i\pi/4}(1-i)=e^{-i\pi/4}\cdot\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}=\sqrt{2}\,e^{-i\pi/2}=\sqrt{2}(-i).
Portanto a soma dos resíduos é
\operatorname{Res}(f,z_0)+\operatorname{Res}(f,z_1)=\frac{1}{4a^{3}}\bigl(\sqrt{2}(-i)\bigr)=-\frac{i\sqrt{2}}{4a^{3}}.

Passo 7

Avaliar a integral pelo teorema dos resíduos. Pelo teorema, a integral sobre o contorno (eixo real de -R a R mais arco) vale 2\pi i vezes a soma dos resíduos no interior. Mostra-se que a contribuição do arco tende a zero quando R\to\infty porque, para |z|=R,
|z^{4}+a^{4}|\ge R^{4}-a^{4}\quad\Rightarrow\quad |f(z)|\le\frac{1}{R^{4}-a^{4}}.
O comprimento do arco é \pi R, logo a contribuição do arco é menor que \dfrac{\pi R}{R^{4}-a^{4}}\to0 quando R\to\infty. Assim, tomando o limite,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}+a^{4}}=2\pi i\left(\operatorname{Res}(f,z_0)+\operatorname{Res}(f,z_1)\right).

Passo 8

Substituir a soma dos resíduos obtida em Passo 6:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}+a^{4}}=2\pi i\left(-\frac{i\sqrt{2}}{4a^{3}}\right).
Calcule 2\pi i\cdot(-i\sqrt{2}/(4a^{3})). Como i\cdot(-i)= -i^{2}=1, obtemos
2\pi\cdot\frac{\sqrt{2}}{4a^{3}}=\frac{2\pi\sqrt{2}}{4a^{3}}=\frac{\pi\sqrt{2}}{2a^{3}}.
Simplificando \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, chega-se à forma mais compacta
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}+a^{4}}=\frac{\pi}{a^{3}\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{a^{3}\sqrt{2}}

Exercícios relacionados