Usando o teorema do resíduo, calcule as seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x{4}+a{4}}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x{4}+a{4}}
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral imprópria
onde se assume
.
Informações dadas e objetivo:
Informações dadas e objetivo:
- Integrando:
. - Intervalo de integração:
. - Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral em termos de
.
Passo 2
Plano de ataque (passo a passo do que será feito): usar integração no plano complexo e o teorema dos resíduos, integrando a função
num contorno que consiste no eixo real de
a
mais um semicírculo no semiplano superior de raio
, e depois fazer
. Vou justificar que a contribuição do arco tende a zero e então aplicar o teorema dos resíduos somando os resíduos dos polos no semiplano superior.
Passo 3
Determinar os polos de
: são as raízes da equação
As quatro raízes são
Escrevendo explicitamente:
Passo 4
Selecionar os polos no semiplano superior: são aqueles com argumento entre
e
. Isso corresponde a
Os outros dois estão no semiplano inferior e não contribuem para o contorno superior.
Passo 5
Calcular os resíduos nos polos superiores. Primeiro verificar que são polos simples: se
, então
e
pois
, logo são simples. Para um polo simples
vale a fórmula
Portanto, para os dois polos:
Passo 6
Calcular
e
usando exponenciais:
Logo os resíduos são
Somando:
Fatorando
:
Agora usar
. Assim
Portanto a soma dos resíduos é
Passo 7
Avaliar a integral pelo teorema dos resíduos. Pelo teorema, a integral sobre o contorno (eixo real de
a
mais arco) vale
vezes a soma dos resíduos no interior. Mostra-se que a contribuição do arco tende a zero quando
porque, para
,
O comprimento do arco é
, logo a contribuição do arco é menor que
quando
. Assim, tomando o limite,
Passo 8
Substituir a soma dos resíduos obtida em Passo 6:
Calcule
. Como
, obtemos
Simplificando
, chega-se à forma mais compacta