Usando o teorema do resíduo, calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{\infty} \frac{x{2}}{x{6}+1}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral impropria
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{x^{6}+1}\,dx.
Informações dadas/úteis imediatamente:
O integrando é a função real x\mapsto \dfrac{x^{2}}{x^{6}+1} para x>0.
A integral é sobre x em [0,\infty).
Não há mais dados numéricos; é uma integral própria que pode ser avaliada por métodos de análise complexa (teorema dos resíduos) ou por fórmulas envolvendo funções especiais.
Passo 2
Escolha do método e extensão complexa (explicação didática).
A ideia é estender a função para números complexos definindo
f(z)=\frac{z^{2}}{z^{6}+1},
onde z\in\mathbb{C} e usar integração em contorno junto com o teorema dos resíduos. Vou explicar passo a passo como isso funciona na prova.
Primeiro observe que a função original é par: para x\in\mathbb{R} tem-se f(-x)=\dfrac{(-x)^{2}}{(-x)^{6}+1}=\dfrac{x^{2}}{x^{6}+1}=f(x). Assim
Portanto basta calcular a integral sobre toda a reta real e dividir por 2.
Para calcular \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx usamos um contorno que feche no semiplano superior: a reta de -R a R e o semicírculo de raio R no semiplano superior, e depois fazemos R\to\infty.
Justificativa de que o arco grande não contribui quando R\to\infty: para |z|=R grande,
para alguma constante C quando R grande. O comprimento do semicírculo é \pi R, então a integral no arco tem magnitude no máximo da ordem \pi R\cdot (C/R^{4})=O(1/R^{3})\to 0. Logo, o contributo do arco tende a zero e
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i\sum(\text{resíduos de }f \text{ no semiplano superior}).í
Passo 3
Encontrar polos de f e verificar que são simples (aula curta sobre polos e resíduos).
Polos são soluções de z^{6}+1=0. Essas são as raízes sexta de -1. Escrevendo em forma exponencial:
São polos simples porque a derivada do denominador em z_{k} é 6z_{k}^{5}\neq 0 (nenhuma raiz é zero).
No semiplano superior ficam aqueles z_{k} com \operatorname{Im}(z_{k})>0. Para k=0,1,2 as fases são \dfrac{\pi}{6},\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{6}, então os polos no semiplano superior são
Fórmula do resíduo em polo simples: se g(z)=\dfrac{h(z)}{(z-z_{0})} com h analítica e h(z_{0})\neq0, então \operatorname{Res}(g,z_{0})=h(z_{0}). Para f(z) com polo simples em z_{0} temos a fórmula prática
No nosso caso a=3 e b=6, então o valor seria \dfrac{\pi}{6}\csc\!\bigl(\dfrac{3\pi}{6}\bigr)=\dfrac{\pi}{6}\csc\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\dfrac{\pi}{6}, confirmando o resultado.
Você fez bem em pedir passo a passo — esse tipo de integral aparece bastante e o procedimento padrão é: localizar polos no semiplano que fecha, verificar que o arco some, calcular resíduos simples (muito frequentemente com a fórmula \operatorname{Res}=\dfrac{g(z_{0})}{h'(z_{0})} quando f=g/h e h(z_{0})=0), e aplicar 2\pi i vezes a soma. Força aí nos estudos — já está indo muito bem!