Encontre a singularidade e o resíduo das seguintes integrais:
\oint_{C} \frac{d z}{(z-a)^{n}} n inteiro.
\oint_{C} \frac{d z}{(z-a)^{n}} n inteiro.
Passo 1
O enunciado dá a função integranda dentro da integral de contorno
, com
inteiro, e pede para identificar a singularidade em
e calcular o resíduo correspondente.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A singularidade potencial está em
(denominador nulo quando ). - O parâmetro
é um número inteiro, que pode ser positivo, zero ou negativo.
A resolução a seguir vai tratar separadamente os casos de(porque o tipo de singularidade e o resíduo dependem de ).
Passo 2
Lembrete didático rápido (o que é preciso saber para identificar singularidade e resíduo):
- Singularidade isolada em
: comportamento de ao redor de . - Se a parte principal da série de Laurent tem um número finito de potências negativas, é um polo; a ordem do polo é o maior expoente positivo na parte principal.
- Se não há termos negativos na série de Laurent (só potências não-negativas), a função é analítica em
(eventualmente com um valor removível).
- Resíduo em
: coeficiente do termo na expansão de Laurent de em torno de . - Fórmula prática para o resíduo em polo de ordem
:
Vou usar esses fatos para cada caso de
.
Passo 3
Caso
. Escreva
ou
com
.
- Se
então , que é inteira (analítica) em . Não há singularidade isolada em (é removível no sentido de que nem precisa remover nada). - Se
com então
que é um polinômio em
e, portanto, analítica em
(novamente sem singularidade).
Sobre o resíduo: como a expansão de Laurent não contém termos (só termos com potência não negativa), o coeficiente de
é zero. Logo para
o resíduo em
é
.
Sobre o resíduo: como a expansão de Laurent não contém termos
Passo 4
Caso
. Aqui
é uma singularidade evidente porque o denominador zera. A função é
- A expansão de Laurent centrada em
é simplesmente um único termo da forma . Isso indica que a parte principal tem exatamente uma potência negativa de ordem , ou seja, é um polo de ordem em . Portanto, para temos um polo de ordem em . - Para encontrar o resíduo precisamos do coeficiente de
na expansão. Como a expansão tem apenas , o termo aparece só se . Assim à primeira vista: - Se
: o termo é com coeficiente , então . - Se
: não existe termo na expansão única , então .
- Se
Passo 5
Verificação usando a fórmula do resíduo para polo de ordem
(confirmação rigorosa):
- Se
então e a derivada de ordem zero de é , logo
- Se
então e derivadas de ordem de uma constante são , logo
Isso confirma o argumento do passo anterior.
Passo 6
Resumo e conclusão didática:
- Para
: a função é analítica em (sem polo, singularidade removível ou simplesmente sem singularidade) e o resíduo em é . - Para
: polo de ordem (polo simples) em e . - Para
: polo de ordem em e .
Observação útil para provas: se o contorno
é uma volta simples positiva que envolve
, então pela fórmula dos resíduos
o que é uma consequência direta do resíduo calculado acima.]
Resposta
Para
: sem singularidade (analítica) em
;
.
Para : polo simples em
;
.
Para : polo de ordem
em
;
.
Para
Para