Ache a série de Laurent de f(z)=z^{2} e^{1 / z} com centro em z_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede: “Ache a série de Laurent de f(z)=z^{2} e^{1 / z} com centro em z_{0}=0.”
Informações dadas e objetivo claro:
  • Função: f(z)=z^{2} e^{1/z}.
  • Centro da expansão: z_{0}=0.
  • Objetivo: encontrar a série de Laurent em torno de 0 (ou seja, escrever f como uma soma de potências z^{k} com k inteiro, possivelmente negativos) e indicar, implicitamente, a região onde essa série converge.

Passo 2

O que é uma série de Laurent (rápida aula):
  • Uma série de Laurent centrada em 0 tem a forma
\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k z^k,
válida em uma coroa do tipo r<|z|<R.
  • A parte com k<0 é chamada parte principal (poderes negativos), e a parte com k\ge0 é a parte regular (potências não-negativas).
  • Método prático: se a função puder ser obtida a partir de séries conhecidas (por exemplo a série de Taylor de e^{w}), faz-se substituição e manipulações algébricas para reescrever na forma acima.

Passo 3

Lembrando a série de Taylor do exponencial (uma aula curta sobre essa série):
  • Para todo w\in\mathbb{C} vale
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!},
essa série converge para todo w (ou seja, raio de convergência infinito).
  • Aqui vamos usar essa série com w=\dfrac{1}{z}. Essa substituição é válida para todo z\neq0, já que w=1/z é então um número complexo finito.

Passo 4

Substituindo w=\dfrac{1}{z} na série de e^{w}:
e^{1/z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{-n}.
Essa é uma série em potências de z^{-1}; ela converge para todo z\neq0.

Passo 5

Agora multiplica-se por z^{2} (passo chave para obter a série de Laurent de f):
f(z)=z^{2} e^{1/z}=z^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{2-n}.
Isto já é uma série de Laurent centrada em 0: os expoentes 2-n percorrem todos os inteiros desde 2 para baixo quando n cresce.

Passo 6

Escrevendo os primeiros termos para ficar bem claro (faça isso na prova para checar):
  • Para n=0: termo \dfrac{1}{0!} z^{2}=z^{2}.
  • Para n=1: termo \dfrac{1}{1!} z^{1}=z.
  • Para n=2: termo \dfrac{1}{2!} z^{0}=\dfrac{1}{2!}.
  • Para n=3: termo \dfrac{1}{3!} z^{-1}.
  • Para n=4: termo \dfrac{1}{4!} z^{-2}.
    Portanto os primeiros termos são
z^{2}+z+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}z^{-1}+\frac{1}{4!}z^{-2}+\cdots.

Passo 7

Reescrita alternativa e identificação da parte principal:
  • Forma compacta já dada:
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{2-n}.
  • Se preferir um índice que mostre os expoentes k explicitamente, coloque k=2-n. Então n=2-k e, como n\ge0, tem-se k\le2. Isso dá
f(z)=\sum_{k=-\infty}^{2}\frac{1}{(2-k)!}\,z^{k}.
(Nesse somatório, 2-k é um inteiro não-negativo, então o fatorial está bem definido.)
  • A parte principal (poderes negativos) é
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(m+2)!}\,z^{-m},
onde usamos m=n-2 para indexar os termos negativos.

Passo 8

Região de convergência e comentário final (dica de prova):
  • A série de e^{1/z} converge para todo z\neq0, então a série de Laurent encontrada converge em toda a coroa 0<|z|<\infty, isto é, no plano complexo com o ponto 0 excluído.
  • Observação útil em provas: o coeficiente de z^{-1} (resíduo em 0) é \dfrac{1}{3!}=\dfrac{1}{6}.

Resposta

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{2-n}=z^{2}+z+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}z^{-1}+\frac{1}{4!}z^{-2}+\cdots,\qquad 0<|z|<\infty.

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