Ache a série de Laurent de
com centro em
.
Passo 1
O enunciado pede: “Ache a série de Laurent de
com centro em
.”
Informações dadas e objetivo claro:
- Função:
. - Centro da expansão:
. - Objetivo: encontrar a série de Laurent em torno de
(ou seja, escrever como uma soma de potências com inteiro, possivelmente negativos) e indicar, implicitamente, a região onde essa série converge.
Passo 2
O que é uma série de Laurent (rápida aula):
- Uma série de Laurent centrada em
tem a forma
válida em uma coroa do tipo
.
- A parte com
é chamada parte principal (poderes negativos), e a parte com é a parte regular (potências não-negativas). - Método prático: se a função puder ser obtida a partir de séries conhecidas (por exemplo a série de Taylor de
), faz-se substituição e manipulações algébricas para reescrever na forma acima.
Passo 3
Lembrando a série de Taylor do exponencial (uma aula curta sobre essa série):
- Para todo
vale
essa série converge para todo
(ou seja, raio de convergência infinito).
- Aqui vamos usar essa série com
. Essa substituição é válida para todo , já que é então um número complexo finito.
Passo 4
Substituindo
na série de
:
Essa é uma série em potências de
; ela converge para todo
.
Passo 5
Agora multiplica-se por
(passo chave para obter a série de Laurent de
):
Isto já é uma série de Laurent centrada em
: os expoentes
percorrem todos os inteiros desde
para baixo quando
cresce.
Passo 6
Escrevendo os primeiros termos para ficar bem claro (faça isso na prova para checar):
- Para
: termo . - Para
: termo . - Para
: termo . - Para
: termo . - Para
: termo .
Portanto os primeiros termos são
Passo 7
Reescrita alternativa e identificação da parte principal:
- Forma compacta já dada:
- Se preferir um índice que mostre os expoentes
explicitamente, coloque . Então e, como , tem-se . Isso dá
(Nesse somatório,
é um inteiro não-negativo, então o fatorial está bem definido.)
- A parte principal (poderes negativos) é
onde usamos
para indexar os termos negativos.
Passo 8
Região de convergência e comentário final (dica de prova):
- A série de
converge para todo , então a série de Laurent encontrada converge em toda a coroa , isto é, no plano complexo com o ponto excluído. - Observação útil em provas: o coeficiente de
(resíduo em ) é .