Ache a série de Laurent de
centro em
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a série de Laurent de
com centro em
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O centro da série é
. - Não há outras restrições dadas (logo se possível a série deve valer numa vizinhança de
, e se a função for inteira a série terá raio de convergência infinito).
Passo 2
Vamos lembrar a série de Maclaurin (expansão em torno de
) da função
. Uma maneira didática de obter essa série é usar a regra de Taylor/Maclaurin: a série de
em torno de
é
As derivadas de
ciclam:
. Avaliando em
obtemos os valores
— ou seja, só aparecem potências ímpares e os coeficientes alternam de sinal. O resultado clássico é
Exemplos iniciais (para ficar concreto):
Passo 3
Agora multiplico essa série por
para obter
:
Ao multiplicar as potências de
somam-se os expoentes, então
Escrevendo os primeiros termos (substituindo
) obtemos:
Passo 4
Observações úteis para a prova (passo didático):
- A série acima não tem termos de potência negativa; portanto é na verdade a série de Taylor de
centrada em . Como é inteira (holomorfa em todo ), o produto também é inteiro e a série converge para todo (raio de convergência infinito). - Em provas, lembrar que para obter séries de funções padrão (
, etc.) usa-se a série conhecida dessas funções e multiplica-se / compõe-se conforme necessário, somando expoentes ao multiplicar por potências de .