Ache a série de Laurent de f(z)=z^{5} \operatorname{sen} z \operatorname{com} centro em z_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a série de Laurent de f(z)=z^{5}\sin z com centro em z_{0}=0.
Informações fornecidas:
  • A função é f(z)=z^{5}\sin z.
  • O centro da série é z_{0}=0.
  • Não há outras restrições dadas (logo se possível a série deve valer numa vizinhança de 0, e se a função for inteira a série terá raio de convergência infinito).

Passo 2

Vamos lembrar a série de Maclaurin (expansão em torno de 0) da função \sin z. Uma maneira didática de obter essa série é usar a regra de Taylor/Maclaurin: a série de \sin z em torno de 0 é
\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin^{(n)}(0)}{n!}z^{n}.
As derivadas de \sin z ciclam: \sin z,\\ \cos z,\\\ -\sin z,\\\ -\cos z,\\ \sin z,\dots. Avaliando em 0 obtemos os valores 0,1,0,-1,0,1,\dots — ou seja, só aparecem potências ímpares e os coeficientes alternam de sinal. O resultado clássico é
\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Exemplos iniciais (para ficar concreto):
\sin z = z - \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} - \frac{z^{7}}{7!} + \cdots.

Passo 3

Agora multiplico essa série por z^{5} para obter f(z):
f(z)=z^{5}\sin z = z^{5}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Ao multiplicar as potências de z somam-se os expoentes, então
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+6}}{(2n+1)!}.
Escrevendo os primeiros termos (substituindo n=0,1,2,\dots) obtemos:
f(z)=z^{6}-\frac{z^{8}}{3!}+\frac{z^{10}}{5!}-\frac{z^{12}}{7!}+\cdots.

Passo 4

Observações úteis para a prova (passo didático):
  • A série acima não tem termos de potência negativa; portanto é na verdade a série de Taylor de f centrada em 0. Como \sin z é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}), o produto z^{5}\sin z também é inteiro e a série converge para todo z (raio de convergência infinito).
  • Em provas, lembrar que para obter séries de funções padrão ( \sin,\cos,e^{z}, etc.) usa-se a série conhecida dessas funções e multiplica-se / compõe-se conforme necessário, somando expoentes ao multiplicar por potências de z.

Resposta

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+6}}{(2n+1)!}
\text{ou, em termos expandidos: } \; f(z)=z^{6}-\frac{z^{8}}{3!}+\frac{z^{10}}{5!}-\frac{z^{12}}{7!}+\cdots

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