Usando o Teorema de Stokes calcule a integral de linha
, onde
e C é a curva de interseção do plano
com o cilindro
, orientada em sentido antihorário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma
onde
é uma superfície qualquer com
e
é a sua normal compatível com a orientação de
.
Passo 2
Calcular o rotacional de
. Escrevendo
com
,
,
, temos
Logo
Passo 3
Escolher como
a região planar
limitada pelo cilindro
. Para que a orientação de
seja anti-horária vista de cima, a normal de
deve ter componente positiva em
.
Passo 4
Parametrizamos
por
Então
e
que já tem terceira componente positiva. Assim
Passo 5
No integrando aparece
Portanto
Passo 6
Como
é o disco de raio
, tem
. E
por simetria (o termo
é ímpar em torno da origem). Logo
Resposta
A integral vale
.