Usando o Teorema de Stokes calcule a integral de linha \int_{C} F \cdot d r, onde
F(x, y, z)=(x y, 2 z, 3 y)
e C é a curva de interseção do plano x+z=3 com o cilindro x^{2}+y^{2}=9, orientada em sentido antihorário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}F\cdot d r
onde
F(x,y,z)=(x y,\;2z,\;3y)
e C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=9 com o plano x+z=3, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma
\int_{C}F\cdot d r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot n\,dS,
onde S é uma superfície qualquer com \partial S=C e n é a sua normal compatível com a orientação de C.

Passo 2

Calcular o rotacional de F. Escrevendo F=(P,Q,R) com P=xy, Q=2z, R=3y, temos
\nabla\times F = \biggl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\biggr).
Logo
\nabla\times F =(3-2,\;0-0,\;0-x) =(1,\;0,\;-x).

Passo 3

Escolher como S a região planar x+z=3 limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}\le9. Para que a orientação de C seja anti-horária vista de cima, a normal de S deve ter componente positiva em z.

Passo 4

Parametrizamos S por
r(x,y)=(x,y,3-x),\quad (x,y)\in D=\{x^{2}+y^{2}\le9\}.
Então
r_x=(1,0,-1), \quad r_y=(0,1,0),
e
r_x\times r_y=(1,0,1),
que já tem terceira componente positiva. Assim
d\mathbf{S}=(1,0,1)\,dA.

Passo 5

No integrando aparece
(\nabla\times F)\cdot (r_x\times r_y) =(1,0,-x)\cdot(1,0,1)=1-x.
Portanto
\int_{C}F\cdot dr =\iint_{D}(1-x)\,dA =\iint_{D}1\,dA-\iint_{D}x\,dA.

Passo 6

Como D é o disco de raio 3, tem \iint_{D}1\,dA=\pi\cdot3^{2}=9\pi. E \iint_{D}x\,dA=0 por simetria (o termo x é ímpar em torno da origem). Logo
\int_{C}F\cdot dr=9\pi.

Resposta

A integral vale \,9\pi\,.

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