Determine a equação da reta tangente, no ponto dado;
F(t)=\left(t, t^{2}, t\right) em F(1)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em \mathbb{R}^3
\mathbf{F}(t) = \bigl(t,\,t^2,\,t\bigr)
e pede a reta tangente no ponto \mathbf{F}(1). Para isso, vamos usar que o vetor derivada \mathbf{F}'(t) é o vetor direção da reta tangente, e então montar a reta em forma vetorial.

Passo 2

Calcular a derivada vetorial:
\mathbf{F}'(t) = \bigl(1,\;2t,\;1\bigr).

Passo 3

Avaliar em t=1:
\mathbf{F}(1) = (1,1,1), \qquad \mathbf{F}'(1) = (1,2,1).

Passo 4

Escrever a equação vetorial da reta tangente usando ponto–vetor:
\mathbf{r}(s) = (1,1,1) + s\,(1,2,1).

Passo 5

Opcionalmente, em forma paramétrica:
x = 1 + s,\quad y = 1 + 2s,\quad z = 1 + s
ou em forma simétrica:
\frac{x-1}{1} \;=\;\frac{y-1}{2}\;=\;\frac{z-1}{1}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(s) = (1,1,1) + s\,(1,2,1).

Exercícios relacionados