Calcule F^{\prime}(t) e F^{\prime \prime}(t) nos casos;
F(t)=\left(\operatorname{sen}(5 t), t, t^{3}\right), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial F\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
F(t) = (\sin(5t),\,t,\,t^3),
e pede F'(t) e F''(t). O conteúdo é derivada de função vetorial, que fazemos derivando cada componente e, no caso da primeira componente, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para uma função vetorial F(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t)), vale
F'(t) = \bigl(f_1'(t),\,f_2'(t),\,f_3'(t)\bigr).
Aqui temos
f_1(t)=\sin(5t),\quad f_2(t)=t,\quad f_3(t)=t^3.

Passo 3

Derivando cada componente:
f_1'(t) = \frac{d}{dt}\sin(5t) = 5\cos(5t),
f_2'(t) = \frac{d}{dt}t = 1,
f_3'(t) = \frac{d}{dt}t^3 = 3t^2.
Logo
F'(t) = \bigl(5\cos(5t),\,1,\,3t^2\bigr).

Passo 4

Para F''(t) derivamos novamente cada componente de F'(t):
\frac{d}{dt}\bigl(5\cos(5t)\bigr) = 5\bigl(-\sin(5t)\bigr)\cdot5 = -25\sin(5t),
\frac{d}{dt}(1) = 0,
\frac{d}{dt}(3t^2) = 6t.
Assim
F''(t) = \bigl(-25\sin(5t),\,0,\,6t\bigr).

Resposta

F'(t) = \bigl(5\cos(5t),\,1,\,3t^2\bigr), \quad F''(t) = \bigl(-25\sin(5t),\,0,\,6t\bigr).

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