Calcule \iint_{S} F.ndS, onde
F(x, y, z)=\frac{(x, y, z)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}
e S é a parte da superfície e^{z^{2}}(z+1)=x^{2}+y^{2} entre z=0 e z=2 orientada de modo que a terceira componente do vetor normal n, em cada ponto de S é positiva ( n \cdot k>0 ).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot n\,dS
onde
F(x,y,z)=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}
e S é a porção da superfície implícita
x^2+y^2=e^{z^2}(z+1), \quad 0\le z\le2,
orientada com a componente z do vetor normal n positiva ( n\cdot k>0).
Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência, observando que F tem divergência zero fora da origem e um pólo de carga unitária na origem, de modo que o fluxo através de qualquer superfície fechada que envolva a origem é 4\pi.

Passo 2

Fechamos a superfície S adicionando:
  1. O disco inferior D_0 em z=0, com x^2+y^2\le1.
  2. O disco superior D_2 em z=2, com x^2+y^2\le e^{4}(3).
    Denotemos por \Sigma=S\cup D_0\cup D_2 o contorno fechado do volume V. Pelo Teorema da Divergência, com orientação para fora de V,
\iint_{\Sigma}F\cdot N\,dS =\iiint_{V}\nabla\cdot F\,dV =4\pi,
pois \nabla\cdot F=0 fora da origem e inclui-se a contribuição 4\pi do pólo na origem.

Passo 3

Nas superfícies D_0 e D_2 a normal para fora do volume é
N_0=-k\quad(D_0,\\ z=0), \qquad N_2=+k\quad(D_2,\\ z=2).
Na parte S o enunciado nos dá n tal que n\cdot k>0, mas esse n é o oposto da normal N para fora de V (pois a normal para fora de V em S tem componente z negativa). Portanto, em S valem
F\cdot N = -\,F\cdot n.

Passo 4

Escrevemos o fluxo pelo contorno fechado:
4\pi =\iint_{\Sigma}F\cdot N\,dS =\iint_{S}F\cdot N\,dS +\iint_{D_0}F\cdot N_0\,dS +\iint_{D_2}F\cdot N_2\,dS.
Como F\cdot N=-F\cdot n em S, temos
\iint_{S}F\cdot n\,dS =-\iint_{S}F\cdot N\,dS =-\bigl(4\pi -\iint_{D_0}F\cdot N_0\,dS -\iint_{D_2}F\cdot N_2\,dS\bigr).

Passo 5

Cálculo do fluxo em D_0: em z=0 vale F=(x,y,0)/(r^3), logo
\iint_{D_0}F\cdot N_0\,dS =\iint_{x^2+y^2\le1}F\cdot(-k)\,dS =-\iint_{x^2+y^2\le1}\frac{0}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dS =0.

Passo 6

Cálculo do fluxo em D_2: em z=2
F\cdot N_2 =F\cdot k =\frac{2}{(x^2+y^2+4)^{3/2}}.
Em coordenadas polares, x^2+y^2=r^2 e dS=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le R, onde
R^2=e^{4}(3).
Assim
\iint_{D_2}F\cdot N_2\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R} \frac{2}{(r^2+4)^{3/2}}\,r\,dr\,d\theta =2\cdot2\pi \int_{0}^{R}\frac{r}{(r^2+4)^{3/2}}\,dr.
Fazendo a primitiva \displaystyle\int \frac{r}{(r^2+4)^{3/2}}\,dr=-\frac{1}{\sqrt{r^2+4}}, obtemos
\iint_{D_2}F\cdot N_2\,dS =4\pi\Bigl[\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{R^2+4}}\Bigr] =2\pi-\frac{4\pi}{\sqrt{3e^{4}+4}}.

Passo 7

Voltando à fórmula do Passo 4, e lembrando que o fluxo em D_0 é zero,
\iint_{S}F\cdot n\,dS =-\Bigl(4\pi - 0 -\bigl(2\pi-\tfrac{4\pi}{\sqrt{3e^{4}+4}}\bigr)\Bigr) =-\bigl(2\pi+\tfrac{4\pi}{\sqrt{3e^{4}+4}}\bigr).

Resposta

\boxed{ \iint_{S}F\cdot n\,dS =-2\pi \;-\;\frac{4\pi}{\sqrt{3e^{4}+4}}. }

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