Calcule
F.ndS, onde
e
é a parte da superfície
entre
e
orientada de modo que a terceira componente do vetor normal
, em cada ponto de
é positiva (
).
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é a porção da superfície implícita
orientada com a componente
do vetor normal
positiva (
).
Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência, observando que tem divergência zero fora da origem e um pólo de carga unitária na origem, de modo que o fluxo através de qualquer superfície fechada que envolva a origem é
.
Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência, observando que
Passo 2
Fechamos a superfície
adicionando:
- O disco inferior
em , com . - O disco superior
em , com .
Denotemos poro contorno fechado do volume . Pelo Teorema da Divergência, com orientação para fora de ,
pois
fora da origem e inclui-se a contribuição
do pólo na origem.
Passo 3
Nas superfícies
e
a normal para fora do volume é
Na parte
o enunciado nos dá
tal que
, mas esse
é o oposto da normal
para fora de
(pois a normal para fora de
em
tem componente
negativa). Portanto, em
valem
Passo 4
Escrevemos o fluxo pelo contorno fechado:
Como
em
, temos
Passo 5
Cálculo do fluxo em
: em
vale
, logo
Passo 6
Cálculo do fluxo em
: em
Em coordenadas polares,
e
, com
, onde
Assim
Fazendo a primitiva
, obtemos
Passo 7
Voltando à fórmula do Passo 4, e lembrando que o fluxo em
é zero,