Usando o Teorema de Stokes, calcule \oint_{C}\left(y^{2} d x+z^{2} d y+x^{2} d z\right), onde C é o contorno da parte do plano x+y+z=a, a>0, que está no 1^{0} octante, no sentido anti-horário. R=-a^{3}
onde C é o contorno do triângulo obtido ao intersectar o plano x+y+z=a (com a>0) com o primeiro octante, orientado anti-horário. Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma
\oint_{C}F\cdot d\mathbf r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot \mathbf n\,dS,
onde F=(y^2,\;z^2,\;x^2), S é a superfície triangular e \mathbf n é o vetor normal compatível com a orientação de C. Precisamos portanto: calcular \nabla\times F, parametrizar S, obter o vetor normal e executar a integral dupla.
Passo 2
Calcular o rotacional de F. Por definição,
\nabla\times F =\bigl(\partial_y x^2-\partial_z z^2,\;\partial_z y^2-\partial_x x^2,\;\partial_x z^2-\partial_y y^2\bigr) =(-2z,\,-2x,\,-2y).
Passo 3
Parametrizar a superfície S pelo domínio D no plano xy:
r(x,y)=(x,\;y,\;a-x-y),
com \;x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le a.
Passo 4
Calcular o vetor normal não unitário via produto vetorial: