Usando o Teorema de Stokes, calcule \oint_{C}\left(y^{2} d x+z^{2} d y+x^{2} d z\right), onde C é o contorno da parte do plano x+y+z=a, a>0, que está no 1^{0} octante, no sentido anti-horário. R=-a^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha
\oint_{C}\bigl(y^{2}\,dx + z^{2}\,dy + x^{2}\,dz\bigr)
onde C é o contorno do triângulo obtido ao intersectar o plano x+y+z=a (com a>0) com o primeiro octante, orientado anti-horário. Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma
\oint_{C}F\cdot d\mathbf r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot \mathbf n\,dS,
onde F=(y^2,\;z^2,\;x^2), S é a superfície triangular e \mathbf n é o vetor normal compatível com a orientação de C. Precisamos portanto: calcular \nabla\times F, parametrizar S, obter o vetor normal e executar a integral dupla.

Passo 2

Calcular o rotacional de F. Por definição,
\nabla\times F =\bigl(\partial_y x^2-\partial_z z^2,\;\partial_z y^2-\partial_x x^2,\;\partial_x z^2-\partial_y y^2\bigr) =(-2z,\,-2x,\,-2y).

Passo 3

Parametrizar a superfície S pelo domínio D no plano xy:
r(x,y)=(x,\;y,\;a-x-y),
com \;x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le a.

Passo 4

Calcular o vetor normal não unitário via produto vetorial:
r_x=(1,0,-1),\quad r_y=(0,1,-1),
r_x\times r_y =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 1&0&-1\\\\ 0&1&-1 \end{vmatrix} =(1,1,1).

Passo 5

Aplicar Stokes transformando em integral dupla sobre D:
\oint_C F\cdot d\mathbf r =\iint_D(\nabla\times F)\cdot\bigl(r_x\times r_y\bigr)\,dx\,dy =\iint_D(-2z-2x-2y)\,dx\,dy.
Como na superfície x+y+z=a temos x+y+z=a, então
-2z-2x-2y = -2a,
que é constante em D.

Passo 6

Calcular a área de D: é o triângulo com vértices (0,0), (a,0), (0,a), logo \mathrm{Area}(D)=a^2/2. Assim
\iint_D(-2a)\,dx\,dy =-2a\;\frac{a^2}{2} =-a^3.

Resposta

-a^3

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