Seja
a parte do gráfico de
, com normal exterior. Usando o Teorema de Stokes, determine
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
onde
e
é a curva limite da superfície
dada por
O enunciado sugere usar o Teorema de Stokes, que diz
com
a normal orientada “para fora” do sólido abaixo de
.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de
. Lembrando
temos
,
,
, logo
Passo 3
Para parametrizar
como gráfico de
, usamos a forma do elemento de área orientado por
que aponta no sentido de
e tem componente
, compatível com o normal exterior. Como
vemos
onde
é o elemento de área no plano
. A projeção de
é o disco
Passo 4
Aplicando Stokes:
O produto escalar vale
Então
Em um disco centrado na origem
, restando