Seja S a parte do gráfico de z=9-x^{2}-y^{2}, z \geq 0, com normal exterior. Usando o Teorema de Stokes, determine \oint_{C} \vec{J} \cdot d \vec{r}, sendo \vec{J}=(3 z, 4 x, 2 y).
R=36 \pi

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\oint_{C}\vec J\cdot d\vec r
onde \vec J=(3z,4x,2y) e C é a curva limite da superfície S dada por
z=9 - x^2 - y^2,\quad z\ge0.
O enunciado sugere usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\vec J\cdot d\vec r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times \vec J)\cdot \mathbf n\,dS,
com \mathbf n a normal orientada “para fora” do sólido abaixo de S.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de \vec J. Lembrando
\nabla\times \vec J =\Bigl(\frac{\partial J_{3}}{\partial y}-\frac{\partial J_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial J_{1}}{\partial z}-\frac{\partial J_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial J_{2}}{\partial x}-\frac{\partial J_{1}}{\partial y}\Bigr),
temos J_{1}=3z, J_{2}=4x, J_{3}=2y, logo
\nabla\times \vec J =\bigl(2-0,\;3-0,\;4-0\bigr) =(2,3,4).

Passo 3

Para parametrizar S como gráfico de z=f(x,y)=9-x^2-y^2, usamos a forma do elemento de área orientado por
\mathbf n\,dS =(-f_x,-f_y,1)\,dA,
que aponta no sentido de (2x,2y,1) e tem componente z>0, compatível com o normal exterior. Como
f_x=-2x,\quad f_y=-2y
vemos
\mathbf n\,dS=(2x,2y,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. A projeção de S é o disco
D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le9\}.

Passo 4

Aplicando Stokes:
\oint_{C}\vec J\cdot d\vec r =\iint_{S}(\nabla\times \vec J)\cdot \mathbf n\,dS =\iint_{D}(2,3,4)\cdot(2x,2y,1)\,dA.
O produto escalar vale
(2,3,4)\cdot(2x,2y,1)=4x+6y+4.
Então
\iint_{D}(4x+6y+4)\,dA =\iint_{D}4x\,dA+\iint_{D}6y\,dA+\iint_{D}4\,dA.
Em um disco centrado na origem \iint_{D}x\,dA=\iint_{D}y\,dA=0, restando
\iint_{D}4\,dA =4\cdot\text{Área}(D) =4\cdot(9\pi) =36\pi.Á

Resposta

\oint_{C}\vec J\cdot d\vec r = 36\pi.

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