Considere a EDO
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=(2-t) e^{-t}
a) Encontre a solução geral da EDO homogênea associada.
b) Encontre a solução geral da EDO.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 2y' + y = (2 - t)\,e^{-t}
a) encontrando primeiro a solução geral da equação homogênea associada, e
b) em seguida achando a solução geral da equação completa por método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos
y'' + 2y' + y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 2r + 1 = (r + 1)^2 = 0,
logo há raiz dupla r = -1. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t}.

Passo 3

Para a parte particular observamos que o termo forçante é (2 - t)e^{-t}. Como e^{-t} e t\,e^{-t} já aparecem em y_h, precisamos multiplicar o polinômio de grau 1 por t^2. Assim assumimos
y_p = t^2\,(A\,t + B)\,e^{-t} = \bigl(A\,t^3 + B\,t^2\bigr)\,e^{-t}.

Passo 4

Escrevamos u(t)=A\,t^3+B\,t^2, de modo que y_p=u\,e^{-t}. Calcula-se
y_p' = (u' - u)\,e^{-t}, \quad y_p'' = (u'' - 2u' + u)\,e^{-t}.
Logo
L[y_p] = y_p'' + 2y_p' + y_p = \bigl(u'' - 2u' + u + 2u' - 2u + u\bigr)e^{-t} = u''\,e^{-t}.
Queremos L[y_p]=(2-t)e^{-t}, isto é
u'' = 2 - t.

Passo 5

Integramos duas vezes, desprezando constantes de integração que dariam termos da homogênea:
u'' = -t + 2 \;\Longrightarrow\; u' = -\tfrac{t^2}{2} + 2t \;\Longrightarrow\; u = -\tfrac{t^3}{6} + t^2.
Assim
y_p = \Bigl(-\tfrac{1}{6}t^3 + t^2\Bigr)e^{-t}.
A solução geral da completa é
y = y_h + y_p = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t} + \Bigl(-\tfrac{1}{6}t^3 + t^2\Bigr)e^{-t}.

Resposta

\boxed{ y_h = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t}, \quad y = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t} + \Bigl(-\tfrac{1}{6}t^3 + t^2\Bigr)e^{-t}. }

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