Dada a elipse de equação x^{2}+4 y^{2}=4, determine:
a) sua equação reduzida;
b) o centro;
c) o gráfico;
d) os vértices;
e) os focos;
f) a excentricidade.
Pontuação: 0,5 ponto

Passo 1

O enunciado dá a elipse de equação
x^{2} + 4y^{2} = 4
e pede: (a) a forma reduzida, (b) o centro, (c) o gráfico, (d) os vértices, (e) os focos e (f) a excentricidade. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, em particular elipse, e vamos usar divisão para achar a forma padrão, depois identificar semi-eixos, foco e excentricidade.

Passo 2

Para obter a forma reduzida dividimos ambos os lados de x^{2} + 4y^{2} = 4 por 4. Assim:
\frac{x^{2}}{4} + \frac{4y^{2}}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1.

Passo 3

A forma padrão \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1 é centrada em (0,0) quando não há termos lineares em x ou y. Portanto, o centro é
(0,0).

Passo 4

Na forma \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{1}=1 temos a^{2}=4 e b^{2}=1. Logo
a = 2, \quad b = 1.
Os vértices ficam nos extremos dos eixos:
no eixo maior (horizontal) em (\pm a,0) = (\pm2,0)
e no eixo menor (vertical) em (0,\pm b) = (0,\pm1).

Passo 5

Para achar os focos calculamos
c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}.
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
(\pm c,\,0) = (\pm\sqrt{3},\,0).

Passo 6

A excentricidade de uma elipse é definida por
e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior horizontal de comprimento 2a=4 (vai de x=-2 a x=2) e eixo menor vertical de comprimento 2b=2 (vai de y=-1 a y=1).

Resposta

a) \displaystyle \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1
b) (0,0)
c) elipse centrada em (0,0), estendendo-se de x=-2 a x=2 e de y=-1 a y=1
d) vértices em (\pm2,0) e (0,\pm1)
e) focos em (\pm\sqrt{3},0)
f) e = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

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