Dada a elipse de equação
, determine:
a) sua equação reduzida;
b) o centro;
c) o gráfico;
d) os vértices;
e) os focos;
f) a excentricidade.
Pontuação: 0,5 ponto
a) sua equação reduzida;
b) o centro;
c) o gráfico;
d) os vértices;
e) os focos;
f) a excentricidade.
Passo 1
O enunciado dá a elipse de equação
e pede: (a) a forma reduzida, (b) o centro, (c) o gráfico, (d) os vértices, (e) os focos e (f) a excentricidade. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, em particular elipse, e vamos usar divisão para achar a forma padrão, depois identificar semi-eixos, foco e excentricidade.
Passo 2
Para obter a forma reduzida dividimos ambos os lados de
por
. Assim:
Passo 3
A forma padrão
é centrada em
quando não há termos lineares em
ou
. Portanto, o centro é
Passo 4
Na forma
temos
e
. Logo
Os vértices ficam nos extremos dos eixos:
no eixo maior (horizontal) em
e no eixo menor (vertical) em .
no eixo maior (horizontal) em
e no eixo menor (vertical) em
Passo 5
Para achar os focos calculamos
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
Passo 6
A excentricidade de uma elipse é definida por
Passo 7
O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior horizontal de comprimento
(vai de
a
) e eixo menor vertical de comprimento
(vai de
a
).
Resposta
a)
b)
c) elipse centrada em , estendendo-se de
a
e de
a
d) vértices em e
e) focos em
f)
b)
c) elipse centrada em
d) vértices em
e) focos em
f)