Usando o teste da comparação, estude a série dada com relação a convergência ou divergência
sumk=2^infty k3 k^3-k+1

Passo 1

A questão nos pede para estudar a convergência da série sumk=2^infty k3k^3-k+1 usando o teste da comparação. O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e o que precisaremos é do teste da comparação direta e do conhecimento de séries-p ( sum1/k^p).

Passo 2

Primeiro, note que para todo k>=2 o termo geral ak=k3k^3-k+1 é positivo. Isso nos permite usar o teste da comparação direta, que diz: se 0<= ak<= bk e sum bk converge, então sum ak também converge.

Passo 3

Precisamos encontrar uma série bk que seja simples e convergente, e tal que ak<= bk para k grande. Observe que, para k>=1, temos -k>= -k^3. Logo, em bloco, usamos a desigualdade para o denominador:
3k^3-k+1;=;3k^3 +(-k+1);>=;3k^3-k^3;=;2k^3

Passo 4

Portanto, para k>=2, em bloco, a comparação do termo geral:
0

Passo 5

Sabemos que sumk=2^infty12k^2=12sumk=2^infty1k^2 é convergente, pois é um múltiplo escalar da série-p com p=2>1. Pelo teste da comparação direta, como 0<= ak<= bk e sum bk converge, concluímos que sumk=2^infty k3k^3-k+1 também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a série-p de parâmetro p=2.

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