Usando o teste da comparação, estude a série dada com relação a convergência ou divergência
Passo 1
A questão nos pede para estudar a convergência da série
usando o teste da comparação. O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e o que precisaremos é do teste da comparação direta e do conhecimento de séries-p (
).
Passo 2
Primeiro, note que para todo
o termo geral
é positivo. Isso nos permite usar o teste da comparação direta, que diz: se
e
converge, então
também converge.
Passo 3
Precisamos encontrar uma série
que seja simples e convergente, e tal que
para
grande. Observe que, para
, temos
. Logo, em bloco, usamos a desigualdade para o denominador:
Passo 4
Portanto, para
, em bloco, a comparação do termo geral:
Passo 5
Sabemos que
é convergente, pois é um múltiplo escalar da série-p com
. Pelo teste da comparação direta, como
e
converge, concluímos que
também converge.
Resposta
A série converge por comparação com a série-p de parâmetro
.