Cálcule a soma da série ou mostre que a série diverge
sumk=0^infty[1(k+1)(k+2)+e^k-1 3^-k]

Passo 1

O exercício pede para calcular a soma da série sumk=0^inftyl[tfrac1(k+1)(k+2) + e^k-13^-kr]. O conteúdo aqui envolve soma de série telescópica e soma de série geométrica, e vamos precisar usar: (1) fatoração em termos parciais para torná-la telescópica; (2) fórmula da soma de série geométrica sumk=0^infty r^k = tfrac11-r para |r|<1.

Passo 2

Separei a soma em duas séries independentes por linearidade: sumk=0^infty1(k+1)(k+2) e sumk=0^inftye^k-13^-k

Passo 3

Para a primeira série, uso fatoração em termos parciais:
1(k+1)(k+2) = 1k+1 - 1k+2
Somando de k=0 até N
sumk=0^Nl(1k+1-1k+2r) = 1 - 1N+2
Fazendo Ntoinfty, o termo 1/(N+2)to0, logo a soma é 1.

Passo 4

Para a segunda série, fatoro e^-1 e reconheço série geométrica:
sumk=0^inftye^k-13^-k = e^-1sumk=0^inftyl(e3r)^k
Como |e/3|<1, a soma vale
e^-1cdot11 - e/3 = e^-1cdot33-e = 3e(3-e)

Passo 5

Somando os dois resultados, a série original converge e sua soma final é a soma das partes:
1 + 3e(3-e)

Resposta

1 + 3e(3-e)

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