Usando o teste da comparação, estude a série dada com relação a convergência ou divergência
sumk=1^infty 1k raiz[k]k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumk=1^infty 1k raiz[k]k
E precisamos verificar se essa série converge ou diverge usando o teste da comparação. Para isso, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Sabemos que:
raiz[k]k = k^1/k
Então, podemos reescrever o termo da série como:
1k cdot k^1/k = 1k^1 + 1/k

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de $ k^{1 + 1/k} $ quando $ k $ cresce. Observamos que:
k^1 + 1/k
Isso significa que, para valores grandes de $ k $:
k
Assim, o termo geral da nossa série fica aproximadamente:
limk to infty k^1/k = 1

Passo 4

Sabemos que a série:
sumk=1^infty 1k
é a série harmônica, que diverge. Ou seja, ela não soma a um valor finito.

Passo 5

Para aplicar o teste da comparação, precisamos comparar os termos das duas séries. Observamos que:
1k raiz[k]k >= 12k
para $ k $ suficientemente grande (já que $ \sqrt[k]{k} $ tende a 1). Sabemos que:
k
também diverge (é apenas a série harmônica multiplicada por 1/2). Como os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos de uma série divergente, pelo teste da comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série
sumk=1^infty 1k raiz[k]k
diverge.

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