Usando o teste da comparação, estude a série dada com relação a convergência ou divergência
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
E precisamos verificar se essa série converge ou diverge usando o teste da comparação. Para isso, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Sabemos que:
Então, podemos reescrever o termo da série como:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de $ k^{1 + 1/k} $ quando $ k $ cresce. Observamos que:
Isso significa que, para valores grandes de $ k $:
Assim, o termo geral da nossa série fica aproximadamente:
Passo 4
Sabemos que a série:
é a série harmônica, que diverge. Ou seja, ela não soma a um valor finito.
Passo 5
Para aplicar o teste da comparação, precisamos comparar os termos das duas séries. Observamos que:
para $ k $ suficientemente grande (já que $ \sqrt[k]{k} $ tende a 1). Sabemos que:
também diverge (é apenas a série harmônica multiplicada por 1/2). Como os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos de uma série divergente, pelo teste da comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.