Usando o teste da comparação, estude a série dada com relação a convergência ou divergência
sumk=0^infty(cos ^2 k+k^2) k^-4

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumk=1^inftyl(cos^2k + k^2r)k^-4 usando o teste da comparação. O conteúdo é séries numéricas de termos não negativos e vamos precisar do teste da comparação simples e do resultado das séries-p.

Passo 2

Observamos que o termo geral se decompõe em duas parcelas: podemos escrever
cos^2k + k^2k^4 = cos^2kk^4 + k^2k^4 = cos^2kk^4 + 1k^2

Passo 3

Para a primeira parcela cos^2kk^4, usamos que 0<= cos^2k<=1. Assim,
0 <= cos^2kk^4 <= 1k^4
Como sum k^-4 é uma série-p com p=4>1, ela converge. Pelo teste da comparação, a soma de cos^2kk^4 também converge.

Passo 4

Para a segunda parcela 1k^2, reconhecemos diretamente uma série-p com p=2>1, logo sum k^-2 também converge.

Passo 5

Somando duas séries convergentes de termos não negativos, a série original
sumk=1^inftyl(cos^2k + k^2r)k^-4
converge.

Resposta

A série converge.

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