Cálcule a soma da série ou mostre que a série diverge
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma da série
ou mostrar que ela diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da série:
. Isso significa que cada termo da série alterna entre 0 e 2, dependendo se
é par ou ímpar.
Passo 3
Vamos expandir os primeiros termos da série para visualizar melhor:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
E assim por diante. Observamos que a série alterna entre 0 e 2.
Passo 4
Para saber se a série converge ou diverge, vamos usar o Critério da Série Alternada. Esse critério diz que uma série alternada
converge se
for decrescente e tender a zero.
Passo 5
No nosso caso, os termos
não são estritamente alternados e não tendem a zero. De fato, quando
é par,
, e quando
é ímpar,
. Portanto, a condição de que os termos tendem a zero não é atendida.
Passo 6
Além disso, observamos que a soma dos termos não estabiliza para um valor finito. A soma parcial vai alternando entre 0 e 2, sem se aproximar de um único número.
Resposta
A série
diverge.