Cálcule a soma da série ou mostre que a série diverge
sumk=1^infty[1+(-1)^k]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma da série sumk=1^infty[1 + (-1)^k] ou mostrar que ela diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o termo geral da série: ak = 1 + (-1)^k. Isso significa que cada termo da série alterna entre 0 e 2, dependendo se k é par ou ímpar.

Passo 3

Vamos expandir os primeiros termos da série para visualizar melhor:
  • Para k=1: 1 + (-1)^1 = 1 - 1 = 0
  • Para k=2: 1 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2
  • Para k=3: 1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0
  • Para k=4: 1 + (-1)^4 = 1 + 1 = 2
    E assim por diante. Observamos que a série alterna entre 0 e 2.

Passo 4

Para saber se a série converge ou diverge, vamos usar o Critério da Série Alternada. Esse critério diz que uma série alternada sum (-1)^k bk converge se bk for decrescente e tender a zero.

Passo 5

No nosso caso, os termos ak = 1 + (-1)^k não são estritamente alternados e não tendem a zero. De fato, quando k é par, ak = 2, e quando k é ímpar, ak = 0. Portanto, a condição de que os termos tendem a zero não é atendida.

Passo 6

Além disso, observamos que a soma dos termos não estabiliza para um valor finito. A soma parcial vai alternando entre 0 e 2, sem se aproximar de um único número.

Resposta

A série sumk=1^infty[1 + (-1)^k] diverge.

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