Usando o teste da Raiz ou Razão, verifique se a série dada é convergente ou divergente
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos estudar a convergência da série
. O conteúdo aqui é testes de convergência para séries numéricas, em particular o teste da razão e o teste da raiz.
Passo 2
Para o teste da razão, considere
. Calculamos o quociente entre termos consecutivos:
Passo 3
À medida que
, temos
, logo
Passo 4
O teste da razão fica inconclusivo quando esse limite é 1.
Passo 5
Para o teste da raiz, calculamos
Passo 6
Pela fórmula de Stirling temos
Passo 7
então
Passo 8
e portanto
Passo 9
O teste da raiz também é inconclusivo.
Passo 10
Como nem raiz nem razão deram conclusivo, vamos olhar o termo geral. De Stirling
Passo 11
Isso mostra que
, então em particular
. Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.
Resposta
A série é divergente.