Usando o teste da Raiz ou Razão, verifique se a série dada é convergente ou divergente
sumn=1^infty n!e^nn^n

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar a convergência da série sumn=1^infty n!e^nn^n. O conteúdo aqui é testes de convergência para séries numéricas, em particular o teste da razão e o teste da raiz.

Passo 2

Para o teste da razão, considere an=n!e^nn^n. Calculamos o quociente entre termos consecutivos:

Passo 3

À medida que ntoinfty, temos l(tfracnn+1r)^n=tfrac1(1+1/n)^ntotfrac1e, logo
limntoinftyan+1an=ecdot1e=1,

Passo 4

O teste da razão fica inconclusivo quando esse limite é 1.

Passo 5

Para o teste da raiz, calculamos
raiz[n]an=raiz[n]n!;e;1n

Passo 6

Pela fórmula de Stirling temos
n!simraiz2pi n(ne)^n,

Passo 7

então
raiz[n]n!simne,

Passo 8

e portanto
limntoinftyraiz[n]an=ne;e;1n=1

Passo 9

O teste da raiz também é inconclusivo.

Passo 10

Como nem raiz nem razão deram conclusivo, vamos olhar o termo geral. De Stirling
an=n!e^nn^nsimraiz2pi n(n/e)^n e^nn^n=raiz2pi n

Passo 11

Isso mostra que antoinfty, então em particular annotto0. Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.

Resposta

A série é divergente.

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