Usando o teste da comparação ou comparação no limite verifique a convergência ou divergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
usando o teste da comparação (ou comparação no limite). Aqui o conteúdo é reconhecer o comportamento assintótico dos termos e compará-los a uma p-série.
Passo 2
Para
grande, o numerador e o denominador são dominados pelos seus maiores termos em
. Ou seja,
Logo
Passo 3
Considere a p-série
Sabemos que uma p-série
converge se, e somente se,
. Aqui
, logo
converge.
Passo 4
Vamos usar o teste da comparação no limite:
Como já vimos que o fator dominante é
esse limite vale
(um número finito e não nulo). Pelo teste da comparação no limite, a série
tem o mesmo comportamento de
e, portanto, também converge.
Resposta
A série
converge.