(2,0) Usando o teste da comparação ou comparação no limite verifique a convergência ou divergência da série sumn=1^infty n^3 / 2-3n^8 / 3+2 n-1.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty n^3/2-3n^8/3+2n-1
usando o teste da comparação (ou comparação no limite). Aqui o conteúdo é reconhecer o comportamento assintótico dos termos e compará-los a uma p-série.

Passo 2

Para n grande, o numerador e o denominador são dominados pelos seus maiores termos em n. Ou seja,
n^3/2-3sim n^3/2, n^8/3+2n-1sim n^8/3
Logo
an = n^3/2-3n^8/3+2n-1 sim n^3/2n^8/3 = n^3/2 - 8/3 = n^-7/6

Passo 3

Considere a p-série
bn = 1n^7/6
Sabemos que uma p-série sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1. Aqui p=7/6>1, logo
sumn=1^infty bn
converge.

Passo 4

Vamos usar o teste da comparação no limite:
limntoinfty anbn = limntoinfty dfracn^3/2-3n^8/3+2n-1dfrac1n^7/6 = limntoinfty n^3/2-3n^8/3+2n-1,n^7/6
Como já vimos que o fator dominante é
n^3/2n^8/3;n^7/6 = n^3/2 -8/3 +7/6 = n^0 =1,
esse limite vale 1 (um número finito e não nulo). Pelo teste da comparação no limite, a série sum an tem o mesmo comportamento de sum bn e, portanto, também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^3/2-3n^8/3+2n-1 converge.

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