Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente:
sumn=3^infty 4n^2-4

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
sumn=3^infty 4n^2-4
ou seja, vamos comparar essa soma com a integral imprópria da função
f(x)=4x^2-4
no intervalo [3,infty).

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste da integral:
  1. Para x>2, x^2-4>0, logo f(x)>0.
  2. f é contínua em [3,infty) porque não há singularidade para x>=3.
  3. Derivando
f'(x)=ddxl(4x^2-4r) =-8x(x^2-4)^2<0para x>0,
portanto f é decrescente em [3,infty).
Como f satisfaz positividade, continuidade e decrescimento, podemos usar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral3^infty4x^2-4,dx
Fazemos frações parciais:
4x^2-4 =4(x-2)(x+2) =1x-2-1x+2
Então
integral4x^2-4,dx =integrall(1x-2-1x+2r),dx =ln|x-2|-ln|x+2|+!C =ln!l(x-2x+2r)+C
Avaliação imprópria:
integral3^infty4x^2-4,dx =limbtoinftyl[ln!l(tfracb-2b+2r) -ln!l(tfrac3-23+2r)r] =0-ln!l(tfrac15r) =ln(5),
que é finito.

Passo 4

Como a integral integral3^infty4x^2-4,dx converge, o teste da integral garante que a série
sumn=3^infty4n^2-4 também converge.

Resposta

A série sumn=3^infty4n^2-4 é convergente.

Exercícios relacionados