Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
ou seja, vamos comparar essa soma com a integral imprópria da função
no intervalo
.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do teste da integral:
- Para
, , logo . -
é contínua em porque não há singularidade para . - Derivando
portanto
é decrescente em
.
Como satisfaz positividade, continuidade e decrescimento, podemos usar o teste da integral.
Como
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos frações parciais:
Então
Avaliação imprópria:
que é finito.
Passo 4
Como a integral
converge, o teste da integral garante que a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.