Usando o teste de comparação de séries, mostre que a série sumn=1^+infty nn^2+2 n+1 é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série sumn=1^+infty nn^2+2 n+1 é divergente, usando o teste de comparação de séries. O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, o teste de comparação direta.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral da série em forma mais simples. Note que n^2+2n+1=(n+1)^2, logo
an=nn^2+2n+1=n(n+1)^2

Passo 3

Para encontrar uma série de referência, observe que, para todo n>=1, vale n+1<=2n, portanto
(n+1)^2<=(2n)^2=4n^2Longrightarrown(n+1)^2>=n4n^2=14n

Passo 4

Definimos bn=14n. Então an>= bn e a série sum bn=sum14n=tfrac14sum1n é, à constante tfrac14 multiplicativa, a série harmônica.

Passo 5

Sabemos que a série harmônica sum1n diverge. Pelo teste de comparação direta (para termos não negativos), se an>= bn e sum bn diverge, então sum an também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+inftynn^2+2n+1 é divergente.

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