Em cada um dos itens, assinalar o ponto dado em coordenadas polares e depois escrever as coordenadas polares para o mesmo ponto, tais que:
(i) r tenha sinal contrário;
(ii) theta tenha sinal contrário.
a) ((2, pi / 4))
b) ((raiz2,-pi / 3))
c) ((-5,2 pi / 3))
d) $((4,5 \pi / 6))

Passo 1

Neste exercício, temos pontos dados em coordenadas polares (r,theta) e precisamos escrever duas representações equivalentes para o mesmo ponto: uma com o raio r com sinal trocado e outra com o ângulo theta com sinal trocado.

Passo 2

Em coordenadas polares, o ponto (r,theta) corresponde ao ponto cartesiano x = rcostheta,; y = rsintheta. Sabemos que existem múltiplas representações equivalentes de um mesmo ponto: para inverter o sinal de r, usamos
(r,theta) equiv (-r,theta + pi);
e para inverter o sinal de theta sem mudar o ponto, mantemos o mesmo r e somamos ou subtraímos 2pi de theta:
(r,theta) equiv (r,theta - 2pi) (se theta>0), (r,theta) equiv (r,theta + 2pi) (se theta<0)

Passo 3

Aplicando (i) r com sinal trocado a cada ponto:
a) (2,pi/4) to (-2,pi/4 + pi) = (-2,5pi/4)
b) (raiz2,-pi/3) to (-raiz2,-pi/3 + pi) = (-raiz2,2pi/3)
c) (-5,2pi/3) to (5,2pi/3 + pi) = (5,5pi/3)
d) (4,5pi/6) to (-4,5pi/6 + pi) = (-4,11pi/6)

Passo 4

Aplicando (ii) theta com sinal trocado mantendo o mesmo ponto:
a) (2,pi/4), como pi/4>0, usamos pi/4 - 2pi = -7pi/4, então (2,-7pi/4)
b) (raiz2,-pi/3), como -pi/3<0, usamos -pi/3 + 2pi = 5pi/3, então (raiz2,5pi/3)
c) (-5,2pi/3), como 2pi/3>0, usamos 2pi/3 - 2pi = -4pi/3, então (-5,-4pi/3)
d) (4,5pi/6), como 5pi/6>0, usamos 5pi/6 - 2pi = -7pi/6, então (4,-7pi/6)

Resposta

a) (i) (-2,5pi/4), (ii) (2,-7pi/4)
b) (i) (-raiz2,2pi/3), (ii) (raiz2,5pi/3)
c) (i) (5,5pi/3), (ii) (-5,-4pi/3)
d) (i) (-4,11pi/6), (ii) (4,-7pi/6)

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