Usar
(a) r>0 e 0 <= theta <= 2 pi;
(b) r<0 e 0 <= theta<2 pi;
© r>0 e -2 pi;
(d) r<0 e -2 pi.
para escrever os pontos P1(raiz3,-1) e P2(-raiz2,-raiz2), em coordenadas polares.

Passo 1

A questão pede para converter os pontos P₁(√3,−1) e P₂(−√2,−√2) em coordenadas polares seguindo quatro convenções diferentes para o sinal de r e o intervalo de θ.

Passo 2

Primeiro, calculamos a distância ao polo (raio) usando r=raizx^2+y^2: para ambos os pontos r=raiz3+1=2 e r=raiz2+2=2.
Em seguida usamos theta=atan2(y,x) para achar o ângulo principal em [0,2pi). Para P₁(√3,−1) fica theta1=11pi/6. Para P₂(−√2,−√2) fica theta2=5pi/4.

Passo 3

(a) Com r>0 e 0<=theta<=2pi usamos diretamente os valores principais: P₁ (2,11pi/6), P₂ (2,5pi/4).

Passo 4

(b) Com r<0 e 0<=theta<2pi fazemos r'=-r e theta'=theta-pi, ajustando por periodicidade se necessário. Assim P₁ (-2,5pi/6), P₂ (-2,pi/4).

Passo 5

© Com r>0 e -2pi subtraímos 2pi do ângulo principal: P₁ (2,-pi/6), P₂ (2,-3pi/4).

Passo 6

(d) Com r<0 e -2pi partimos do ângulo do caso (b) e subtraímos 2pi: P₁ (-2,-7pi/6), P₂ (-2,-7pi/4).

Resposta

Para P₁:\n(a) (2,11pi/6) (b) (-2,5pi/6) © (2,-pi/6) (d) (-2,-7pi/6)\nPara P₂:\n(a) (2,5pi/4) (b) (-2,pi/4) © (2,-3pi/4) (d) (-2,-7pi/4)

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