Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
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Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da integral. Vamos definir a função
verificar que ela é positiva e decrescente para
e calcular o integral impróprio
.
Passo 2
Mostramos que
para todo
, e checamos a monotonicidade por derivada:
Logo
é decrescente em
e podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos o integral
Fazendo a substituição
, vem
e
. Então
Note que
portanto
Passo 4
Avaliaremos o limite:
pois
cresce linearmente enquanto
cresce mais devagar. Logo
isto é, o integral diverge.
Passo 5
Pelo teste da integral, como
diverge, a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.