Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} frac{1}{\sqrt{n}+1};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+1}
usando o teste da integral. Vamos definir a função
f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + 1},
verificar que ela é positiva e decrescente para x\ge1 e calcular o integral impróprio
\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx.

Passo 2

Mostramos que f(x)>0 para todo x\ge1, e checamos a monotonicidade por derivada:
f'(x) = -\frac{1}{2}\,\frac{x^{-1/2}}{(\sqrt{x}+1)^2} <0\quad\text{para }x>0.
Logo f é decrescente em [1,\infty) e podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos o integral
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1}.
Fazendo a substituição u=\sqrt{x}, vem x=u^2 e dx=2u\,du. Então
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1} = \int_{u=1}^{\infty} \frac{2u}{u+1}\,du.
Note que
\frac{u}{u+1} = 1 - \frac{1}{u+1},
portanto
\int_{1}^{\infty} \frac{2u}{u+1}\,du = 2\int_{1}^{\infty} \Bigl(1 - \frac{1}{u+1}\Bigr)du = 2\lim_{R\to\infty}\bigl[(u - \ln(u+1))\bigr]_{1}^{R}.

Passo 4

Avaliaremos o limite:
\lim_{R\to\infty}\bigl[R - \ln(R+1)\bigr] = \infty,
pois R cresce linearmente enquanto \ln(R+1) cresce mais devagar. Logo
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1} = \infty,
isto é, o integral diverge.

Passo 5

Pelo teste da integral, como
\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx diverge, a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f(n) também diverge.

Resposta

A série diverge.

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