Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos: associamos à soma a função contínua
e comparamos a convergência de
com a do integral impróprio
.
Passo 2
Precisamos checar que
é positiva e, a partir de certo ponto, decrescente. Note que
então
Como
para
, concluímos que
em todo
. Logo, para
,
é positiva e decrescente, e podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calcular o integral impróprio
Fazemos integração por partes com
Logo,
Passo 4
Avaliaremos
Para
, tanto
quanto
vão a zero, de modo que o valor do integral é
que é finito.
Passo 5
Pelo teste da integral, se
converge e
é positiva e decrescente a partir de algum ponto, então a série
também converge.
Resposta
A série
converge.