Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} frac{n}{2^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}},
para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos: associamos à soma a função contínua
f(x)=\frac{x}{2^{x}}
e comparamos a convergência de \sum_{n=1}^\infty f(n) com a do integral impróprio \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Precisamos checar que f(x) é positiva e, a partir de certo ponto, decrescente. Note que
f(x)=x\,e^{-x\ln2},
então
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(xe^{-x\ln2}\bigr) =e^{-x\ln2}\bigl(1 - x\ln2\bigr).
Como 1 - x\ln2<0 para x>1/\ln2\approx1,44, concluímos que f'(x)<0 em todo x\ge2. Logo, para x\ge2, f(x) é positiva e decrescente, e podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calcular o integral impróprio
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{2^{x}}\,dx =\int_{1}^{\infty} x\,e^{-x\ln2}\,dx.
Fazemos integração por partes com
u=x,\quad dv=e^{-x\ln2}dx \quad\Longrightarrow\quad du=dx,\quad v=-\frac{e^{-x\ln2}}{\ln2}.
Logo,
\int x\,e^{-x\ln2}\,dx =-\frac{x\,e^{-x\ln2}}{\ln2} -\int\Bigl(-\frac{e^{-x\ln2}}{\ln2}\Bigr)dx =-\frac{x\,e^{-x\ln2}}{\ln2} -\frac{e^{-x\ln2}}{(\ln2)^2} +C.

Passo 4

Avaliaremos
\lim_{b\to\infty} \left[ -\frac{x\,e^{-x\ln2}}{\ln2} -\frac{e^{-x\ln2}}{(\ln2)^2} \right]_{x=1}^{x=b}.
Para b\to\infty, tanto x\,e^{-x\ln2} quanto e^{-x\ln2} vão a zero, de modo que o valor do integral é
0 \;-\;\Bigl(-\tfrac{1}{2\ln2}-\tfrac{1}{2(\ln2)^2}\Bigr) =\frac{1}{2\ln2}\Bigl(1+\frac{1}{\ln2}\Bigr),
que é finito.

Passo 5

Pelo teste da integral, se \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge e f é positiva e decrescente a partir de algum ponto, então a série \sum_{n=1}^\infty f(n) também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}} converge.

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