Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral a fim de determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries de termos positivos, que requer escolher uma função
contínua, positiva e decrescente tal que
.
Passo 2
Definimos a função
para
. Observamos que:
-
para todo . -
é contínua em . - Para verificar que
é decrescente, calculamos logo decresce em . Portanto, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Analisamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
, quando
temos
, e quando
temos
. Assim
Tomando o limite
, obtemos
que é finito. Logo a integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
e
, a série
converge.
Resposta
A série converge.