Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=5}^{\infty} frac{1}{(n-4)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral a fim de determinar se a série
\sum_{n=5}^{\infty}\frac{1}{(n-4)^{2}}
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries de termos positivos, que requer escolher uma função f(x) contínua, positiva e decrescente tal que f(n)=a_n.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{1}{(x-4)^{2}},
para x\ge5. Observamos que:
  1. f(x)>0 para todo x\ge5.
  2. f é contínua em [5,\infty).
  3. Para verificar que f é decrescente, calculamos f'(x) = -2\,(x-4)^{-3} < 0\quad(\forall x>4),logo f decresce em [5,\infty). Portanto, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Analisamos a integral imprópria
\int_{5}^{\infty} \frac{1}{(x-4)^{2}} \, dx = \lim_{t\to\infty}\int_{5}^{t} \frac{1}{(x-4)^{2}} \, dx.
Fazendo a substituição u = x-4, quando x=5 temos u=1, e quando x=t temos u=t-4. Assim
\int_{5}^{t} \frac{1}{(x-4)^{2}} \, dx = \int_{1}^{\,t-4} \frac{1}{u^{2}} \, du = \Bigl[-\,\frac{1}{u}\Bigr]_{1}^{\,t-4} = -\frac{1}{t-4} - \bigl(-1\bigr) = 1 - \frac{1}{t-4}.
Tomando o limite t\to\infty, obtemos
\lim_{t\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{t-4}\Bigr) = 1,
que é finito. Logo a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
\int_{5}^{\infty} f(x)\,dx < \infty
e f(n)=a_n, a série
\sum_{n=5}^{\infty}\frac{1}{(n-4)^{2}}
converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados