Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
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Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para verificar convergência pelo teste da integral. Vamos tratar os termos como uma função contínua em e aplicar o teste.
e pede para verificar convergência pelo teste da integral. Vamos tratar os termos como uma função contínua em
Passo 2
Definimos
Para
, a função
é positiva, contínua e, pelo expoente negativo, monotona decrescente. Logo, podemos usar o teste da integral.
Passo 3
Estudamos a integral imprópria
Para a primeira parte,
então
Para a segunda parte,
logo
Somando,
Passo 4
Como a integral de
de
a
converge (é finita), o teste da integral garante que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.