Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n \sqrt{n}}+\frac{3}{n^{3}}\right);

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{n\sqrt{n}}+\frac{3}{n^{3}}\Bigr)
e pede para verificar convergência pelo teste da integral. Vamos tratar os termos como uma função contínua em x\ge1 e aplicar o teste.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{2}{x\sqrt{x}}+\frac{3}{x^{3}} =2\,x^{-\tfrac32}+3\,x^{-3}.
Para x\ge1, a função f(x) é positiva, contínua e, pelo expoente negativo, monotona decrescente. Logo, podemos usar o teste da integral.

Passo 3

Estudamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{1}^{\infty}2\,x^{-\tfrac32}\,dx +\int_{1}^{\infty}3\,x^{-3}\,dx.
Para a primeira parte,
\int 2\,x^{-\tfrac32}\,dx =2\int x^{-3/2}\,dx =2\Bigl(\frac{x^{-1/2}}{-\tfrac12}\Bigr) =-4\,x^{-\tfrac12},
então
\int_{1}^{\infty}2\,x^{-\tfrac32}\,dx =\lim_{b\to\infty}\bigl(-4\,b^{-\tfrac12}+4\cdot1^{-\tfrac12}\bigr) =4.
Para a segunda parte,
\int 3\,x^{-3}\,dx =3\int x^{-3}\,dx =3\Bigl(\frac{x^{-2}}{-2}\Bigr) =-\frac{3}{2}\,x^{-2},
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\int_{1}^{\infty}3\,x^{-3}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl(-\tfrac{3}{2}b^{-2}+\tfrac{3}{2}\Bigr) =\tfrac{3}{2}.
Somando,
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx =4+\tfrac{3}{2} =\tfrac{11}{2}<\infty.

Passo 4

Como a integral de f(x) de 1 a \infty converge (é finita), o teste da integral garante que a série original também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{2}{n\sqrt{n}}+\tfrac{3}{n^{3}}\bigr) converge.

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