Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} frac{1}{4 n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}+1}.
O conteúdo é identificar uma função f(x) positiva e decrescente em [1,\infty), verificar as condições do teste da integral e calcular
\displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{1}{4x^{2}+1}.
Para aplicar o teste da integral precisamos de f(x)>0 e f decrescente em [1,\infty). Claramente f(x)>0 para todo x. Calculando a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{1}{4x^{2}+1}\Bigr) =-\frac{8x}{(4x^{2}+1)^{2}}<0 \quad\text{para }x\ge1.
Logo f é decrescente e positiva em [1,\infty).

Passo 3

Calculamos agora a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{4x^{2}+1}\,dx.
Uma primitiva é
\int \frac{1}{4x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{2}\arctan(2x)+C.
Portanto
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{4x^{2}+1}\,dx =\lim_{b\to\infty}\frac{1}{2}\bigl[\arctan(2b)-\arctan(2)\bigr] =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\arctan(2)\Bigr),
que é finito.

Passo 4

Pelo teste da integral, se \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge e f é positiva e decrescente, então
\sum_{n=1}^{\infty}f(n)
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}+1} converge.

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