Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}
usando o teste de Leibniz. Para isso, vamos definir a sequência dos termos não sinalizados e verificar as hipóteses do teste.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{1}{n^{2}},\quad n\ge1.
O teste de Leibniz exige que a_{n}\ge0, que (a_{n}) seja monótona decrescente e que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 3

Verificamos que a_{n}\ge0 para todo n, pois n^{2}>0. Em seguida, para monotonicidade, note que, para n\ge1,
a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^{2}} < \frac{1}{n^{2}} = a_{n}.
Logo, (a_{n}) é estritamente decrescente.

Passo 4

Calculamos o limite de a_{n}:
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{2}} = 0.

Passo 5

Como a_{n}\ge0, (a_{n}) decresce e \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, todas as hipóteses do teste de Leibniz estão satisfeitas. Portanto, a série alternante converge.

Passo 6

Além disso, como
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
é a série p com p=2>1, ela converge. Logo, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} converge (inclusive absolutamente).

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