Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
usando o teste de Leibniz. Para isso, vamos definir a sequência dos termos não sinalizados e verificar as hipóteses do teste.
Passo 2
Definimos
O teste de Leibniz exige que
, que
seja monótona decrescente e que
.
Passo 3
Verificamos que
para todo
, pois
. Em seguida, para monotonicidade, note que, para
,
Logo,
é estritamente decrescente.
Passo 4
Calculamos o limite de
:
Passo 5
Como
,
decresce e
, todas as hipóteses do teste de Leibniz estão satisfeitas. Portanto, a série alternante converge.
Passo 6
Além disso, como
é a série p com
, ela converge. Logo, a série original converge absolutamente.
Resposta
A série
converge (inclusive absolutamente).