Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{5 n+1}

Passo 1

O enunciado apresenta a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n}{5n+1}
e pede para aplicar o teste de Leibniz, que exige verificar:
  1. Se os termos em módulo a_n=\frac{n}{5n+1} são decrescentes a partir de certo n.
  2. Se \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Calculemos o limite de a_n:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{5 + \tfrac1n} =\frac15\neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, já falha a condição necessária (mesmo sem precisar checar monotonicidade).

Passo 3

Pelo teste do termo geral, se \lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}a_n\neq 0 (ou seja, \lim a_n\neq0), a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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