Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{(n-4)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{(n-4)^{2}}
usando o teste da integral. O conteúdo é o teste da integral para séries positivas e decrescentes.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{1}{(x-4)^{2}}
para x\ge5. Observamos que f(x) é positiva, contínua e estritamente decrescente em [5,\infty), condições necessárias para aplicar o teste da integral.

Passo 3

Pelo teste da integral, comparamos a série à integral imprópria
\int_{5}^{\infty} \frac{1}{(x-4)^{2}} \, dx.

Passo 4

Fazemos a substituição u = x - 4. Quando x=5, u=1; quando x\to\infty, u\to\infty. A integral torna-se
\int_{1}^{\infty} u^{-2} \, du.
Sabemos que
\int u^{-2}\,du = -\,u^{-1},
então
\int_{1}^{\infty} u^{-2}\,du = \lim_{b\to\infty}\bigl[-u^{-1}\bigr]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty}\bigl(-b^{-1}+1\bigr) = 1.

Passo 5

Como a integral imprópria converge para um valor finito ( 1), o teste da integral garante que a série
\sum_{n=5}^{\infty}\frac{1}{(n-4)^{2}}
também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados