Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n\,2^{n}}
usando testes de comparação. Vamos manipular o termo geral para compará-lo com uma série geométrica de razão menor que 1.

Passo 2

Observe que para todo n\ge1 temos
n+1 \le 2n,
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\frac{n+1}{n\,2^{n}} \le \frac{2n}{n\,2^{n}} = \frac{2}{2^{n}} = \frac{1}{2^{\,n-1}}.

Passo 3

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\,n-1}} é geométrica de razão r=\tfrac12<1, portanto converge. Como
0 \le \frac{n+1}{n\,2^{n}} \le \frac{1}{2^{\,n-1}}
e a série maiorante converge, pela comparação direta concluímos que a série dada também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n\,2^{n}} converge.

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