Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{4}+1};

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{4}+1}
usando testes de comparação. Vamos comparar com uma p-série conhecida.

Passo 2

Para n\ge1 temos
n^{4}+1 \ge n^{4} \quad\text{e}\quad n^{2}+1 \le 2\,n^{2}.
Logo,
0 \;\le\; \frac{n^{2}+1}{n^{4}+1} \;\le\; \frac{2\,n^{2}}{n^{4}} = \frac{2}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}} =2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
é convergente, pois é uma p-série com p=2>1.
Pelo teste de comparação direta, como 0\le a_{n}\le b_{n} e \sum b_{n} converge, concluímos que \sum a_{n} também converge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{4}+1}
converge.

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