Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste de Leibniz à série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n}{n^{2}+1}.
Sabemos que o teste de Leibniz diz que uma série alternante \sum(-1)^{n}b_{n} converge se
  1. b_{n}\ge0 para todo n,
  2. b_{n} é decrescente a partir de certo N,
  3. \lim_{n\to\infty}b_{n}=0.

Passo 2

Identificamos
b_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}\,,
de modo que os sinais realmente alternam por causa de (-1)^{n} e b_{n}>0 para todo n.

Passo 3

Para verificar que b_{n} é decrescente a partir de n=2, considere a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1},\quad x>0.
Calculando a derivada,
f'(x) =\frac{(x^{2}+1)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1 - x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Como 1-x^{2}<0 para x>1, temos f'(x)<0 para x>1. Logo \{b_{n}\} é decrescente para n\ge2.

Passo 4

Mostramos que
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+1} =0,
pois o numerador cresce como n e o denominador como n^{2}.

Passo 5

Como b_{n}\ge0, b_{n} é decrescente (para n\ge2) e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, o teste de Leibniz garante que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{n^{2}+1}
converge. Entretanto, como
\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
comporta-se assintoticamente como \sum1/n, ela diverge, então a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

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