Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste de Leibniz à série
Sabemos que o teste de Leibniz diz que uma série alternante
converge se
-
para todo , -
é decrescente a partir de certo , -
.
Passo 2
Identificamos
de modo que os sinais realmente alternam por causa de
e
para todo
.
Passo 3
Para verificar que
é decrescente a partir de
, considere a função
Calculando a derivada,
Como
para
, temos
para
. Logo
é decrescente para
.
Passo 4
Mostramos que
pois o numerador cresce como
e o denominador como
.
Passo 5
Como
,
é decrescente (para
) e
, o teste de Leibniz garante que
converge. Entretanto, como
comporta-se assintoticamente como
, ela diverge, então a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.