Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2 n^{2}}{4 n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste de Leibniz à série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{2\,n^{2}}{4\,n^{2}+1}.
No teste de Leibniz verificamos duas condições sobre os termos positivos
\displaystyle b_{n}=\frac{2\,n^{2}}{4\,n^{2}+1}:
  1. \{b_{n}\} deve ser decrescente para n suficientemente grande;
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}=0.

Passo 2

Identificamos
b_{n}=\frac{2\,n^{2}}{4\,n^{2}+1}.
Calculamos o limite de b_{n}:
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2\,n^{2}}{4\,n^{2}+1} =\frac{2}{4} =\frac12\neq0.

Passo 3

Como a segunda condição do teste de Leibniz (termo geral tendendo a zero) não é atendida, conclui-se que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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