Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \sqrt{n}}{n+4};

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste de Leibniz (ou teste da série alternante) na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\,\sqrt{n}}{n+4}.
Esse teste afirma que, se escrevemos a série como
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} b_n
com b_n\ge0, e se
  1. \displaystyle b_n é monotonicamente decrescente a partir de algum n, e
  2. \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = 0,
    então a série converge.

Passo 2

Identificamos
b_n = \frac{\sqrt{n}}{n+4},
que de fato é não–negativo para todo n. Primeiro, verificamos o limite de b_n:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+4} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{1/2}}{n\,(1+4/n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}\,(1+4/n)} = 0.

Passo 3

Agora mostramos que b_n é decrescente para n suficientemente grande. Considere a função contínua
f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+4},\quad x>0.
Calculamos a derivada:
f'(x) = \frac{\frac12 x^{-1/2}(x+4) - \sqrt{x}\cdot1}{(x+4)^2} = \frac{\frac{x+4}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+4)^2} = \frac{\;x+4 - 2x\;}{2\sqrt{x}\,(x+4)^2} = \frac{4 - x}{2\sqrt{x}\,(x+4)^2}.
Para x>4 temos 4-x<0, logo f'(x)<0. Assim f (e portanto b_n=f(n)) é decrescente para todo n\ge5.

Passo 4

Como b_n\ge0, \lim_{n\to\infty}b_n=0 e b_n é decrescente a partir de n=5, todas as hipóteses do teste de Leibniz estão satisfeitas. Portanto, a série converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{n+4} converge (de modo condicional).

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