Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste de Leibniz (ou teste da série alternante) na série
Esse teste afirma que, se escrevemos a série como
com
, e se
-
é monotonicamente decrescente a partir de algum , e -
,
então a série converge.
Passo 2
Identificamos
que de fato é não–negativo para todo
. Primeiro, verificamos o limite de
:
Passo 3
Agora mostramos que
é decrescente para
suficientemente grande. Considere a função contínua
Calculamos a derivada:
Para
temos
, logo
. Assim
(e portanto
) é decrescente para todo
.
Passo 4
Como
,
e
é decrescente a partir de
, todas as hipóteses do teste de Leibniz estão satisfeitas. Portanto, a série converge.
Resposta
A série
converge (de modo condicional).