Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt[3]{\ln (n)}};

Passo 1

O enunciado dá a série alternante
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n \quad\text{com}\quad a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{\ln(n)}}.
O conteúdo é o Teste de Leibniz (ou critério da série alternante). Para aplicá-lo, precisamos verificar:
  1. \{a_n\} é decrescente a partir de certo n.
  2. \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Verificamos o limite de a_n. Como \ln(n)\to\infty quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\ln n)^{1/3}} =0.

Passo 3

Mostramos que a_n é decrescente para n\ge2. Considere a função contínua
f(x)=\frac{1}{(\ln x)^{1/3}},\quad x>1.
Calculando a derivada:
f'(x) =-\tfrac{1}{3}\,(\ln x)^{-4/3}\,\frac{1}{x}<0 \quad\text{para todo }x>1.
Logo f é estritamente decrescente em (1,\infty) e, em particular, a_{n+1}<a_n para n\ge2.

Passo 4

Como a_n\to0 e \{a_n\} é decrescente, pelo Teste de Leibniz a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n converge.

Resposta

A série converge (condicionalmente) pelo Teste de Leibniz.

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