Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\cos (n)}{3^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 + \cos(n)}{3^n}
usando testes de comparação. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e comparação com séries geométricas.

Passo 2

Observamos que para todo n vale
-1 \le \cos(n) \le 1
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2 \le 3 + \cos(n) \le 4.
Portanto,
0 \le \frac{3 + \cos(n)}{3^n} \le \frac{4}{3^n}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{3^n}
é uma série geométrica de razão \tfrac{1}{3}, e como \tfrac{1}{3}<1 ela converge.

Passo 4

Pelo teste da comparação (termos não negativos), como
0 \le \frac{3 + \cos(n)}{3^n} \le \frac{4}{3^n}
e a série do lado direito converge, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos(n)}{3^n} converge.

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