Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5 n}{2 n^{2}-5};

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n}{2n^{2}-5}
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando testes de comparação. O conteúdo envolve séries de termos positivos e vamos precisar usar o teste de comparação direta.

Passo 2

Para n\ge2 temos
2n^{2}-5 \le 2n^{2},
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\frac{5n}{2n^{2}-5}\ge \frac{5n}{2n^{2}}=\frac{5}{2n}.

Passo 3

Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge, portanto
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{5}{2n} = \frac{5}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}
também diverge. Como para n\ge2 vale
\frac{5n}{2n^{2}-5}\ge \frac{5}{2n},
pelo teste de comparação direta concluímos que a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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