Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-3 n}{\sqrt[3]{n^{10}-4 n^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-3n}{\sqrt[3]{n^{10}-4n^{2}}}
converge ou diverge. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar aqui o teste de comparação (mais precisamente, o teste da comparação por limite) para series de termos positivos ou de termos com valor absoluto equivalente a uma série-p.

Passo 2

Para grandes n, o termo geral
a_{n} = \frac{n^{2}-3n}{\sqrt[3]{n^{10}-4n^{2}}}
tem comportamento assintótico dominado pelos maiores graus de n no numerador e no denominador. Note que
n^{2}-3n = n^{2}\bigl(1 - \tfrac3n\bigr) \quad\text{e}\quad \sqrt[3]{n^{10}-4n^{2}} =\bigl(n^{10}(1 - 4n^{-8})\bigr)^{1/3} = n^{10/3}\,(1-4n^{-8})^{1/3}.
Logo, para n\to\infty,
a_{n} \sim \frac{n^{2}}{n^{10/3}} = n^{\,2 - \tfrac{10}{3}} = n^{-4/3}.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação por limite entre \lvert a_{n}\rvert e a série-p
b_{n} = \frac{1}{n^{4/3}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert a_{n}\rvert}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{n^{4/3}\,\lvert n^{2}-3n\rvert}{\sqrt[3]{n^{10}-4n^{2}}} =\lim_{n\to\infty} \frac{n^{10/3}-3n^{7/3}}{n^{10/3}(1-4n^{-8})^{1/3}} =\frac{1-0}{1} =1.
Como a série \sum b_{n}=\sum 1/n^{4/3} é convergente ( p=4/3>1) e o limite acima é finito e não nulo, concluímos que \sum\lvert a_{n}\rvert converge.

Passo 4

A convergência de \sum\lvert a_{n}\rvert implica convergência absoluta de \sum a_{n}. Portanto, a série original converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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