Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-4};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-4}
O conteúdo é séries numéricas, usaremos o teste de comparação (mais precisamente o teste da comparação de limite) comparando com a p-série \sum 1/n^{2}, que é convergente pois p=2>1.

Passo 2

Definimos
\displaystyle a_{n} = \frac{1}{n^{2}-4}
e escolhemos como série comparadora
\displaystyle b_{n} = \frac{1}{n^{2}}.
Como \sum b_{n} é convergente ( p=2), basta mostrar que a_{n} e b_{n} têm comportamento assintótico semelhante.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação de limite:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^{2}-4}}{\displaystyle \frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}-4} = 1.
Como 0< L<\infty, os dois termos têm o mesmo caráter de convergência.

Passo 4

Já que \sum b_{n} = \sum 1/n^{2} converge e o limite L é finito e não nulo, concluímos que
\sum a_{n} = \sum \frac{1}{n^{2}-4}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-4} converge.

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