Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
\sum_{1} \frac{n+4}{n^{4}+\sqrt{n}+7}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{n^{4}+\sqrt{n}+7}
e pede para examinar a convergência. Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A série é uma série de termos positivos, pois para todo n\ge1 temos n+4>0 e n^{4}+\sqrt{n}+7>0.
  • Queremos decidir se a série converge ou diverge quando somamos os termos de n=1 até o infinito.

Passo 2

Ideia de método: para séries de termos positivos uma boa estratégia é comparar com uma série conhecida cujo comportamento a gente já sabe — por exemplo a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
Lembrete rápido sobre p-séries: a p-série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. No nosso problema os termos parecem decair como 1/n^{3} para n grande (porque numerador ~ n e denominador ~ n^{4}), então é natural comparar com \sum 1/n^{3}, que é convergente (pois p=3>1).

Passo 3

Apresento o Teste da Comparação Direta (para séries de termos não-negativos):
Se 0 \le a_{n} \le b_{n} para todo n suficientemente grande e \sum b_{n} convergir, então \sum a_{n} também converge.
Vou construir uma desigualdade do tipo a_n \le b_n com uma b_n proporcional a 1/n^{3}.

Passo 4

Construção da desigualdade (passo a passo, sem pular etapas):
Para n\ge1 temos \sqrt{n}\ge0 e 7>0, então
n^{4}+\sqrt{n}+7 \ge n^{4}.
Também, para n\ge1 vale 4 \le 4n, então
n+4 \le n+4n = 5n.
Combinando essas duas desigualdades, para todo n\ge1 obtemos
\frac{n+4}{n^{4}+\sqrt{n}+7} \le \frac{5n}{n^{4}} = \frac{5}{n^{3}}.
Ou seja, tomando a_n=\dfrac{n+4}{n^{4}+\sqrt{n}+7} e b_n=\dfrac{5}{n^{3}}, temos 0\le a_n\le b_n para todo n\ge1.

Passo 5

Conclusão pela Comparação Direta:
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5}{n^{3}} é simplesmente 5 vezes a p-série \sum 1/n^{3}, e como 3>1 essa p-série converge; logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5}{n^{3}} converge. Pelo Teste da Comparação Direta, como 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{n^{4}+\sqrt{n}+7}
converge também.

Passo 6

Observação alternativa (útil na prova): poderia também usar o Teste da Comparação por Limite com b_n=1/n^{3}. Calcula-se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n^{3}} = \lim_{n\to\infty} n^{3}\frac{n+4}{n^{4}+\sqrt{n}+7} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}+4n^{3}}{n^{4}+\sqrt{n}+7}.
Dividindo numerador e denominador por n^{4}
\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 4/n}{1 + 1/n^{7/2} + 7/n^{4}} = 1.
Como o limite é um número finito e positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento e, como \sum 1/n^{3} converge, conclui-se novamente que a série original converge. Essa via é boa quando se quer justificar pela semelhança assintótica.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{n^{4}+\sqrt{n}+7} é convergente.

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