Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para examinar a convergência. Informações úteis extraídas do enunciado:
- A série é uma série de termos positivos, pois para todo
temos e . - Queremos decidir se a série converge ou diverge quando somamos os termos de
até o infinito.
Passo 2
Ideia de método: para séries de termos positivos uma boa estratégia é comparar com uma série conhecida cujo comportamento a gente já sabe — por exemplo a p-série
Lembrete rápido sobre p-séries: a p-série
converge se, e somente se,
. No nosso problema os termos parecem decair como
para
grande (porque numerador ~
e denominador ~
), então é natural comparar com
, que é convergente (pois
).
Passo 3
Apresento o Teste da Comparação Direta (para séries de termos não-negativos):
Se para todo
suficientemente grande e
convergir, então
também converge.
Vou construir uma desigualdade do tipo com uma
proporcional a
.
Se
Vou construir uma desigualdade do tipo
Passo 4
Construção da desigualdade (passo a passo, sem pular etapas):
Para temos
e
, então
Para
Também, para
vale
, então
Combinando essas duas desigualdades, para todo
obtemos
Ou seja, tomando
e
, temos
para todo
.
Passo 5
Conclusão pela Comparação Direta:
A série é simplesmente
vezes a p-série
, e como
essa p-série converge; logo
converge. Pelo Teste da Comparação Direta, como
e
converge, segue que
A série
converge também.
Passo 6
Observação alternativa (útil na prova): poderia também usar o Teste da Comparação por Limite com
. Calcula-se
Dividindo numerador e denominador por
dá
Como o limite é um número finito e positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento e, como
converge, conclui-se novamente que a série original converge. Essa via é boa quando se quer justificar pela semelhança assintótica.
Resposta
A série
é convergente.