Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
O que se pede: examinar a convergência da série (isto é, decidir se ela converge ou diverge). Informações relevantes fornecidas:
- Os termos gerais são
. - Cada termo é positivo para todo
(porque ).
Nada mais é dado.
Passo 2
Vou usar um teste conveniente e simples para séries de termos positivos: o teste da raiz (root test). Vou primeiro explicar o teste com calma.
Teste da raiz (enunciado e interpretação):
- Para uma série com termos
, define-se
- Se
, a série converge absolutamente (no caso de termos não negativos, converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
O que significa
? É simplesmente o número positivo tal que
. Para séries do tipo geométrico
, a raiz n-ésima é
, então o teste da raiz recupera imediatamente o critério da série geométrica.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz à nossa série. Tomamos
. Calculamos a raiz n-ésima:
Agora calculamos o limite quando
:
Portanto
Pelo teste da raiz, como
, a série
converge (de forma absoluta).
Passo 4
Para reforçar a intuição (e porque “testes convenientes” podem incluir comparação), faço também uma comparação simples com uma série geométrica: para
tem-se
, logo
A série
é uma série geométrica de razão
(com
), portanto converge. Pelo teste da comparação (termos não negativos), se
e
converge, então
também converge. Assim obtemos novamente que
converge.
Passo 5
Comentário final e motivação intuitiva:
decai muito mais rápido que uma sequência geométrica
(com
), por isso a soma das caudas é finita. Em provas, tanto o teste da raiz (rápido e direto aqui) quanto a comparação com uma geométrica são ferramentas convenientes para séries com termos exponenciais.
Resposta
A série
converge (converge absolutamente).