Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
\sum_{1} e^{-n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^{2}}.
O que se pede: examinar a convergência da série (isto é, decidir se ela converge ou diverge). Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos gerais são a_{n}=e^{-n^{2}}.
  • Cada termo é positivo para todo n\ge 1 (porque e^{-n^{2}}>0).
    Nada mais é dado.

Passo 2

Vou usar um teste conveniente e simples para séries de termos positivos: o teste da raiz (root test). Vou primeiro explicar o teste com calma.
Teste da raiz (enunciado e interpretação):
  • Para uma série com termos a_{n}\ge0, define-se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}.
  • Se L<1, a série \sum a_{n} converge absolutamente (no caso de termos não negativos, converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
O que significa \sqrt[n]{a_{n}}? É simplesmente o número positivo tal que (\sqrt[n]{a_{n}})^{n}=a_{n}. Para séries do tipo geométrico a_{n}=r^{n}, a raiz n-ésima é \sqrt[n]{r^{n}}=|r|, então o teste da raiz recupera imediatamente o critério da série geométrica.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz à nossa série. Tomamos a_{n}=e^{-n^{2}}. Calculamos a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_{n}}=\sqrt[n]{e^{-n^{2}}}=(e^{-n^{2}})^{1/n}=e^{-n}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} e^{-n}=0.
Portanto
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=0<1.
Pelo teste da raiz, como L<1, a série \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^{2}} converge (de forma absoluta).

Passo 4

Para reforçar a intuição (e porque “testes convenientes” podem incluir comparação), faço também uma comparação simples com uma série geométrica: para n\ge 1 tem-se n^{2}\ge n, logo
e^{-n^{2}}\le e^{-n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n} é uma série geométrica de razão e^{-1} (com 0<e^{-1}<1), portanto converge. Pelo teste da comparação (termos não negativos), se 0\le a_{n}\le b_{n} e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge. Assim obtemos novamente que \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^{2}} converge.

Passo 5

Comentário final e motivação intuitiva: e^{-n^{2}} decai muito mais rápido que uma sequência geométrica r^{n} (com 0<r<1), por isso a soma das caudas é finita. Em provas, tanto o teste da raiz (rápido e direto aqui) quanto a comparação com uma geométrica são ferramentas convenientes para séries com termos exponenciais.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^{2}} converge (converge absolutamente).

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